Kapitel

3.1. MATERIELLE OBJEKTIVITÄT
Das dyadische Produkt zweier objektiver Geschwindigkeitsfluktuationsvektoren
folgt somit dem Objektivitätszwang (3.2c). Zur Modellierung eines objektiven
Reynolds–Spannungenstensors können nur objektive Tensoren und deren Invarianten
verwendet werden, weswegen sich ein Zusammenhang zwischen dem
Wirbeltensor und dem Reynolds–Spannungstensor – entgegen der üblichen Modellierungpraxis
– verbieten würde.
Ein anderes Bild ergibt sich aus der Analyse der Implusgleichungen für Û bzw. Û. Mit
Hilfe der oben angeführten Transformationsbeziehungen ergibt sich
˙Û = Q · ˙
U + ˙Q · U + Q ¨ T
· Q · ˆx + Q ˙ T
· Q · ˆx ˙ − Q ¨ T
· Q · b − Q ˙ T
· Q · b ˙ + ¨b = Q · ˙
U + ˙Q ·
= Q · ˙ U +
Q T · Û − QT · ˙ Q · Q T · ˆx + Q T · ˙ Q · Q T · b − Q T · ˙ b
+ ¨ Q · Q T · ˆx + ˙ Q · Q T · ˙ ˆx − ¨ Q · Q T · b − ˙ Q · Q T · ˙ b + ¨ b
ˆx · ¨Q T
· Q − Q ˙ T
· Q · Q ˙ T
· Q + ˙ b ·
+b · ˙Q T
· Q · Q ˙ T T
· Q − Q · Q ¨ T
· Q
˙Q T
· Q · Q ˙ T
· Q − Q ˙ T
· Q
+ ¨
b + 2 ˙ Q · Q T · Û
= Q · ˙ U + A + 2 ˙ Q · Q T · Û (3.10)
Der erste Term der rechten Seite von Gleichung (3.10) repräsentiert den objektiven
Anteil. Nach dem Impulssatz (1.7) entspricht die Impulsänderung ˙ U der Summe aller
Kräfte auf das Fluid ∇ · T total . Da das Stoffgesetz (1.32) nur auf dem symmetrischen
Anteil des Geschwindigkeitsgradiententensors basiert, ist der Spannungstensor T total
materiell objektiv
Q · ˙ U = Q ·
∇ · T =
total
ˆ ∇· ˆ T .
total
Für die momentane und Reynolds–gemittelte Änderung des Impulses ergibt sich somit
˙Û = ˆ ∇· ˆ T +
total A + 2 ˙ Q · Q T · Û ,
˙ˆ
U = ˆ ∇· ˆ T +
total A + 2 ˙ Q · Q T · Û .
Hieraus läßt sich für die Änderung des fluktuierenden Geschwindigkeitsvektors ein, im
Unterschied zu Gleichung (3.9) nichtobjektiver Zusammenhang ableiten
˙û = Q · ˙u + 2 ˙ Q · Q T · û . (3.11)
Eine analoge Aussage findet man für die substantielle Änderung der Reynolds–Spannungen.
In Bezug auf die Modellierung steht die Beziehung (3.11) im Widerspruch zur
Beziehung (3.9).
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