Kapitel

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1/12
−II b
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
isotropic 2−component
turbulence
−1/108
1−component turbulence
plane strain (PS)
9II b +27III b +1=0 2−component turbulence
axissymmetric expansion (AE)
axissymmetric contraction (AC)
(II b /3) 3 +(III b /2) 2 =0
isotropic 3−component turbulence
0.00 0.02 0.04 0.06
III b
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3.2. REALISIERBARKEIT
X 2
X 1
X 2 X 1
X 3
X 3 X 1
Abbildung 3.1: Lösungspfade dreier verschiedener rotationsfreier Distorsionen bei isotroper
Wirbelzähigkeitsmodellierung in der Invariantenkarte von Lumley (1978).
(PS)
(AC)
(AE)
det (sij − λkδij) = 0 (3.21)
drei reelle Lösungen λk (k=1,2,3). Den drei Eigenwerten λk sind drei paarweise orthogonale
Eigenvektoren zugeordnet. Wählt man die Eigenvektoren als Basisvektoren, so
kann sij durch eine Hauptachsentransformation auf Diagonalgestalt gebracht werden
ˆsij =
⎛
⎝
λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ3
⎞
X 2
⎠ , (3.22)
wobei wegen der Spurfreiheit des Deviators s zusätzlich λ1 + λ2 + λ3 = 0 gilt. Sortiert
man die Eigenwerte nach der Größe ihres Betrags, z.B. |λ1| > |λ2|; |λ3|, so ergibt sich
unter der Voraussetzung nicht–trivialer Situationen λ1 = 0:
λ2 + λ3 = −λ1 → λ2 = −0.5(â + 1)λ1 und
Damit läßt sich (3.22) wie folgt notieren (ˆs11 = λ1)
λ3 = −0.5(â − 1)λ1 , −1 ≤ â ≤ 1 . (3.23)
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