Kapitel

2.2. ISOTROPE UND ANISOTROPE WIRBELZÄHIGKEIT
ßend werden klassische Mängel der herkömmlichen isotropen Modellbildung in praxisrelevanten
Scherströmungen zusammengetragen.
2.2 Isotrope und anisotrope Wirbelzähigkeit
Das Wirbelzähigkeitskonzept verknüpft definitionsgemäß den Geschwindigkeitsgradienten–Tensor
mit dem Tensor der Reynolds–Spannungen
u u ∼ U ∇ .
Isotrope und anisotrope Techniken unterscheiden sich dabei durch die tensorielle Stufe
der Verknüpfung. Prinzipiell kommen Wirbelzähigkeitsansätze auf der Basis ungerader
Tensorenstufen zur Verknüpfung zweier Tensoren zweiter Stufe nicht in Frage, weswegen
letztlich die unten angeführten drei Möglichkeiten verbleiben
⎧
⎪⎨ νt (Sij + Wij) isotrope Wirbelzähigkeit,
uiuj ∼
⎪⎩
νik (Skj + Wkj) schwach anisotrope Wirbelzähigkeit,
νijkl (Skl + Wkl) anisotrope Wirbelzähigkeit.
In der Regel wird nur der Beitrag des Scherraten–Tensors zur Verknüpfung berücksichtigt,
da man zur Abbildung der maximal sechs verschiedenen Reynolds–Spannungen
höchstens sechs Geschwindigkeitsgradientenbeiträge benötigt.
Der wesentliche Vorteil anisotroper Wirbelzähigkeitsmodelle ist die linear unabhängige
Modellierung individueller Reynolds–Spannungen. Erste Hinweise zur Formulierung
einer anisotropen Wirbelzähigkeit durch nichtlineare Geschwindigkeitsgradiententerme
gehen auf Neuzgliadov (1960) zurück. Ziel der Überlegungen ist die Formulierung
anisotroper Wirbelzähigkeitstensoren νijkl in Gestalt von nichtlinearen Stress–Strain
Beziehungen, deren Herleitung auf algebraischen Spannungsmodellen basiert.
Für eine erste Beurteilung der oben genannten Wirbelzähigkeitsalternativen ist deren
Konsistenz zu den untenstehenden simplen Symmetrie– und Kontraktionseigenschaften
des Reynolds–Spannungstensors von zentraler Bedeutung
Anisotrope Modellierung
uiuj = ujui und uiui = 2k .
Der allgemeinste Ansatz zur Formulierung einer Wirbelzähigkeit wird, analog zu anisotropen
linear-elastischen Materialgesetzen, durch einen Tensor vierter Stufe (Hinze
1959; Gatski und Speziale 1993) beschrieben
uiuj = 2
3 δijk − νijkl (Skl + Wkl) . (2.10)
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