Kapitel

5.2. MODELLBILDUNG DES SCHNELLEN ANTEILS ΦIJ2
Die Formulierung einer zum Grad der Anisotropie proportionalen Senke, welche auch
bei homogener Grundströmung wirkt, ist daher ein naheliegender linearer Ansatz (??)
zur Modellierung des langsamen Anteils Φij1
φij1 = −2 C1 T −1
t k bij = −2 C1ε bij .
Typische Werte des Koeffiziente C1, welche durch Messungen von Uberoi (1956) bestätigt
werden, kann man Tabelle 4.1 entnehmen. Weitere Hinweise zur Modellierung ergeben
sich aus den unter 5.3.3 gemachten Bemerkungen, sowie der in Kapitel 8 erörterten
Analyse des Druck–Scher–Korrelationsmodells.
5.2 Modellbildung des schnellen Anteils Φij2
Ausgangspunkt für die Modellierung des schnellen PS Modells Φij2 ist der Tensor der
Zweipunkt–Korrelation Rij = ui(xk) uj(ˆxm) = ui ûj. Mit Hilfe der in Anhang G skizzierten
Rechenregel (F.4) findet man
∂
∂rl
∂Rij
∂xk
− ∂Rij
∂rk
= ∂
∂ui
ûj =
∂rl ∂xk
∂ui
∂xk
Die Modellbildung setzt, wie bereits erwähnt, geringe Abweichungen vom Zustand der
lokal homogenen Turbulenz voraus, für den sich die zuletzt notierte Gleichung stark
vereinfacht
− ∂2 Rij
∂rk∂rl
= ∂ui
∂xk
∂ûj
∂ˆxl
∂ûj
∂ˆxl
.
. (5.4)
Die Beziehung (5.4) dient der Modellierung des schnellen Druck–Scher–Korrelationsanteils
aus Gleichung (5.1)
1
2π
δV
∂ui
∂xj
+ ∂uj
∂ûl
∂xi ∂ˆxk
∂ Ûk
∂ˆxl
d ˆ V
r
≈ − 1
2π
= Mijlk
∂Uk
∂xl
∂Uk
∂xl
δV
∂ 2 Ril
∂rj∂rk
+ ∂2
Rjl dVˆ ∂ri∂rk r
= (aijkl + ajikl) ∂Uk
∂xl
(5.5)
Der zu modellierende Tensor aijkl genügt aufgrund der Symmetrie der Reynolds–
Spannungen und der Kommutativität der partiellen Ableitung einer Reihe von Symmetriebedingungen
aijkl = aljki = alkji = aikjl . (5.6)
Mit Hilfe des in Anhang F erläuterten Greenschen Satzes (E.4) läßt sich ferner zeigen,
daß
aijjl = 2 Ril ≈ 2 uiul . (5.7)
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