Kapitel

Anhang C Caley–Hamilton Theorem
Die allgemein bekannte Form des Caley–Hamilton Theorems zur Reduktion höherer
Vielfacher von Tensoren des R 3 lautet
A 3 ij = (Akk) A 2 ij − 0.5(AkkAll − A 2 kk) Aij + (det[Aij]) δij . (C.1)
Diese charakteristische Gleichung für Tensoren läßt sich unmittelbar aus der Definitionsgleichung
des Kotensors ableiten (Schade 1996). Eine für drei unterschiedliche,
nicht notwendigerweise reguläre Tensoren generalisierte Variante ergibt sich aus
AilBlkCkj + AilClkBkj + BilClkAkj + BilAlkCkj + CilBlkAkj + CilAlkBkj =
Aij(BlkCkl) + Bij(AlkCkl) + Cij(AlkBkl) + δij(AlmBmkCkl + ClmBmkAkl) +
+δij(AllBkkCmm − AllBmkCkm − BllCmkAkm − CllAmkBkm) +
(AikBkj + BikAkj)Cll + (AikCkj + CikAkj)Bll + (BikCkj + CikBkj)All −
Aij(BllCkk) − Bij(AllCkk) − Cij(AllBkk) , (C.2)
wobei die letzten drei Zeilen für spurfreie Tensoren (Aii = Bii = Cii = 0) verschwinden.
Die Beziehungen (C.1–C.2) lassen sich unmittelbar aus den Rechenregeln für Determinanten
ableiten (siehe unten). Für die in Kapitel 5 benutzten Umformungen sind vor
allem folgende symbolische Zusammenhänge für zwei spurfreie Tensoren, von denen
einer symmetrisch und einer antimetrisch sei, von Bedeutung
A 3 = 0.5 tr{A 2 } A + 1
3 tr{A3 } δ (C.3)
A · B · A + A 2 · B + B · A 2 = 0.5 tr{A 2 } B + tr{A 2 · B} δ , (C.4)
A · B 2 · A + A 2 · B 2 + B 2 · A 2 = tr{B 2 } A 2 + tr{A · B 2 } A + 0.5 tr{A 2 } B 2
+ tr{A 2 · B 2 } − 0.5 tr{A 2 } tr{B 2 } δ , (C.5)
A 2 · B · A 2 = −0.5 tr{A 2 } A · B · A − (A · B + B · A) det(A)
+ tr{A 2 · B} A 2 . (C.6)
Hierin ist die Spurbildung (Kontraktion der freien Indizes) durch geschweifte Klammern
gekennzeichnet (z.B. tr{A 2 } = A 2 ii = AikAki).
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