Kapitel

womit sich die Wirbeltransportgleichung schließlich in Form von
ergibt.
Energiegleichung
D ωi
Dt
= ωk
∂Ui
∂xk
+ ν ∂2 ωi
∂x 2 k
+ eijk
ρ
1.1. TRANSPORTGLEICHUNGEN
∂ fk
∂xj
(1.15)
Der energetische Transport durch einen Kontrollraum V wird durch den 1. Hauptsatz
der Thermodynamik beschrieben. Hiernach ist die Änderung von kinetischer Energie
K und innerer Energie E in V gleichgewichtig zur Summe aus Spannungsleistungen Ps,
Wärmeflüssen über die Oberfläche ˙ Q sowie dem pro Zeiteinheit produzierten Anteil an
eingeprägter Wärme ˙ Qe (beispielsweise aus Strahlung resultierend):
˙E + ˙ K = Ps + ˙ Q + ˙ Qe . (1.16)
Eingeprägte Wärmeanteile bleiben fortan unberücksichtigt. Da diese zumeist Quelltermgestalt
besitzen, sind sie im Bedarfsfall leicht zu ergänzen. Mit Hilfe der Leistungsdichten
˙Q = − q · dA bzw. Ps = U · τ · dA − dA · (U P ) + U · fdV (1.17)
erhält man unter Verwendung intensiver Feldgrößen
dE := ρe dV und dK := ρ
die Integralgleichung
∂
ρ e +
∂t
U 2
g
dV +
2
V
−
O(V)
O(V)
2 U · U dV = ρU 2 g
2
dA ·
dA · q + U P − τ T · U
+
V
ρU e + U 2
g
=
2
dV (1.18)
U · fdV . (1.19)
Die Beziehung (1.19) geht nach Wandlung der Oberflächenintegrale unter der Voraussetzung
stetiger Feldgrößen in eine differentielle Formulierung über. Subtrahiert man
hiervon die durch skalare Multiplikation mit der Geschwindigkeit erweiterte Impulsbilanz
(1.7), so ergibt sich eine weitere differentielle Bilanzgleichung
ρ De
Dt
∂qi
= − − P
∂xi
∂Ui
∂xi
∂Ui
+ τji . (1.20)
∂xj
Die hierin auftretende doppelte Überschiebung zwischen den Verzerrungsgeschwindigkeiten
und den daran wirkenden Reibungsspannungen wird zumeist als Dissipationsfunktion
φD bezeichnet und symbolisiert die volumenbezogene Spannungsleistung infolge
von Kontrollraumverzerrung.
11
:=φD