Kapitel

anT
n
(n)
ij
= a1sij + a2 (sikwkj − wikskj)
bij = bij(sij, wij) =
2. Generator
+ a4 (w 2 ij − δij(w 2 kk)/3)
4. Generator
+a3 (s 2 ij − δij(s 2 kk)/3)
3. Generator
+a5 (s 2 ikwkj − wiks 2 kj)
5. Generator
3.3. DARSTELLUNGSTHEORIE
+ . . . (3.48)
Im Zentrum der Formulierung von Funktionsbasen steht der Satz von Spencer (1959).
Dieser beschreibt die Funktionsbasis F = T (1) (2) (n)
ij , T ij , . . . T ij nach Grad und Extension.
Hierbei bezeichnet der Grad eines Matrixpolynoms die maximal mögliche Anzahl von
Skalarmultiplikationen zur Bildung eines Generators, und die Extension (Vielfachheit)
die höchste Anzahl der Beteiligungen eines Elements aus der Relevanzliste an einem
Generator:
Jedes Matrixprodukt aus R 3×3 Matrizen (Elementen der Relevanzliste)
kann als Matrixpolynom mit der Extension ≤ R + 1 und dem Grad ≤ G
ausgedrückt werden. Der Grad des Polynoms wird durch den Umfang der
Relevanzliste bestimmt. Für R = 1 gilt G = 2 und für alle R ≥ 2 findet
man G = max(5, R + 2) .
Ein Beweis gelingt mit Hilfe des verallgemeinerten Caley–Hamilton Theorems (Anhang
C). Für R = 1 folgt der Satz von Spencer unmittelbar aus der ursprünglichen Form
des Caley–Hamilton Theorems
A 3 ij = Akk A 2 ij − 0.5(AkkAll − A 2 kk)Aij + (det[Aij]) δij . (3.49)
Neben der Bestimmung der Generatoren stellt sich die Frage nach der Spezifikation der
Koeffizienten a1 . . . an. Leider vermag die Darstellungstheorie ohne zusätzliche Zwangsbedingungen
keine präzisen Angaben über die Gestalt der Koeffizienten zu machen. Die
Koeffizienten können Funktionen aller möglichen linear unabhängigen (irreduziblen)
skalaren Kombinationen ηi von Tensorkoordinaten der Generatoren sein. Die Menge
der Kombinationen N = η1, η2, . . . ηk nennt man Integritätsbasis, die einzelnen Elemente
Invarianten.
3.3.2 Anisotrope Wirbelzähigkeitsmodelle
Die im Rahmen der Ingenieurwissenschaften allgemeinste statistische Modellbildung
basiert auf Transportgleichungen für Reynolds–Spannungen. Diese verknüpfen in ihrer
einfachsten Form die Tensoren bij, sij, und wij (vgl. Kapitel 4). Für die Entwicklung
verallgemeinerter Wirbelzähigkeitsmodelle ist bij = bij(sij, wij) folglich ein sehr wichtiges
Beispiel. Hierfür findet man nach Spencer eine Funktionsbasis vom Grade fünf und
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