Kapitel

10.2. HOMOGENE TURBULENZ IN ROTATIONSFREIER DISTORSION
10.2 Homogene Turbulenz in rotationsfreier Distorsion
Der folgende Abschnitt analysiert die Vorhersagekraft unterschiedlicher EASM–Varianten
für verschiedene homogene rotationsfreie (wij ≡ 0) Scherratenfelder. Hierbei wird
wiederum von räumlich konstanten Geschwindigkeitsgradienten und homogenen Turbulenzfeldern
ausgegangen. Für die Analyse ist eine Betrachtung auf der Basis der
Hauptachsen von sij hilfreich. Bekanntermaßen besitzt die Säkulargleichung eines positiv
semi-definiten Tensors
det (sij − λkδij) = 0 (10.6)
drei reelle Lösungen λk (k=1,2,3). Den drei Eigenwerten λk sind drei paarweise orthogonale
Eigenvektoren zugeordnet. Wählt man die Eigenvektoren als Basisvektoren, so
kann sij durch eine Hauptachsentransformation auf Diagonalgestalt gebracht werden
ˆsij =
⎛
⎝
λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ3
⎞
⎠ , (10.7)
wobei wegen der Spurfreiheit des Deviators s zusätzlich λ1 + λ2 + λ3 = 0 gilt. Sortiert
man die Eigenwerte nach der Größe ihres Betrags, z.B. |λ1| > |λ2|; |λ3|, so ergibt sich
unter der Voraussetzung nicht–trivialer Situationen λ1 = 0:
λ2 + λ3 = −λ1 → λ2 = −0.5(â + 1)λ1 und
Damit läßt sich (10.7) wie folgt notieren (ˆs11 = λ1)
ˆsij =
⎛
⎝
λ3 = −0.5(â − 1)λ1 , −1 ≤ â ≤ 1 . (10.8)
1 0 0
0
0 − 1+â
2
0 0 − 1−â
2
⎞
⎠ ˆs11 . (10.9)
Hierin kennzeichnet ˆs11 die dimensionslose Primärdistorsionsgeschwindigkeit im Hauptachsensystem
und â einen Parameter zur Beschreibung der Abweichung vom zweidimensionalen
Distorsionszustand. Die folgenden Untersuchungen konzentrieren sich auf
die drei relevanten Grenzfälle des transformierten Scherratentensors (10.9) (vgl. Abbildung
10.4):
• zweidimensionale Distorsion: â 2 = 1 und ˆs11 > 0 ,
• achsensymmetrische Kontraktion: â = 0 und ˆs11 > 0 ,
• achsensymmetrische Expansion: â = 0 und ˆs11 < 0 .
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