Kapitel

Gram–Matrix und deren Determinante
⎛
⎞
Gkp =
⎜
⎝
η1 0 η3
0 (η1η2 − 6η5) 0
η3 0 η 2 1/6
10.2. HOMOGENE TURBULENZ IN ROTATIONSFREIER DISTORSION
⎟
⎠ , det[Gkp] =
Im Falle der achsensymmetrischen Kontraktion findet man
T (1)
ij = sij =
⎛
⎝
1 0 0
0 −1/2 0
0 0 −1/2
⎞
⎠ ˆs11 , T (2)
ij
1
(η1η2 − 6η5)( η3 1
6 − η2 3)
(3)
≡ 0 , T ij =
1
2 ˆs11
. (10.12)
und für die Invarianten η2 = η4 = η5 = 0 , η1 = 1.5 ˆs 2 11 , η3 = 0.75 ˆs 3 11 . Hieraus ergibt
sich eine doppelte Nullstelle der Gram–Determinate, weswegen das Gleichungssystem
auch in der unten dargestellten vereinfachten Form stets singulär wird
⎛
⎜
⎝
a1
a2
a3
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
η 2 1
η 3 1 −6η2 3
0
6 η3
6η 2 3 −η3 1
0
1
η1η2−6η5
0
6 η3
6η 2 3 −η3 1
0
6η1
η 3 1 −6η2 3
⎞
⎛
⎟
⎠ ·
⎜
⎝
bijsij
0
(0.5ˆs11) bijsij
Die Übertragung dieser Aussage auf die EASM überprüft man wegen T (2)
ij
⎞
sij ,
⎟
⎠ . (10.13)
≡ 0 ge-
eigneterweise anhand der Beziehung (6.5). Dabei begünstigt die spezielle Struktur der
rechten Seite (bijT (1)
ij , bijT (3)
ij ) die Berechnung der EASM Koeffizienten, weil sich in diesem
Falle auch die zweite Nullstelle der Determinante von M im Zuge der Invertierung
kürzen läßt. Hiervon kann i.Allg. (Tij = 0) jedoch nicht ausgegangen werden.
Zweidimensionale Integritätsbasis
Die Problematik der Funktionsbasis FGS erkennt man deutlich aus der Untersuchung
der zunächst regulären Gestalt von (10.13), welche man nach Vereinfachung der Integritätsbasis
für zweidimensionale Zustände gemäß (3.54) erhält
a1 = bijsij
η1
a2 = 0 , a3 = 6
und damit von (10.10) : bij =
η 2 1
bijT (3)
ij
2
η1
= 3 ˆs11
η1
bkmskm
a1 , (10.14)
sij . (10.15)
Die implizite Beziehung (10.15) birgt einen deutlichen Widerspruch (P/ε = 2P/ε) in
sich, deren Ursachen in der Verwendung linear abhängiger Generatoren liegt. Das Gleichungssystem
(10.13) entkoppelt in diesem Falle zu zwei Gleichungen bij = a1sij und
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