Kapitel

CALEY–HAMILTON THEOREM
Multipliziert man (C.10) mit B, dann ergibt sich mittels (C.11)
Bik Akl Blj = 0.5
+ Bij AlkBkl . (C.12)
Aij − δ (2)
ij All
BkkBll − B 2 kk
Für spurfreie Tensoren A und B, von denen einer symmetrisch und einer antimetrisch
ist, findet man die besonders einfachen Zusammenhänge in symbolischer Schreibweise
A · B = −B · A , (C.13)
A 2 = 0.5 tr{A 2 } δ (2) , (C.14)
B · A · B = −0.5 tr{B 2 } A . (C.15)
Mit derselben Technik lassen sich analoge Beziehungen zur Reduktion der N–ten Potenzen
von N Matrizen des R N aus
entwickeln.
δ ijk...N+1(N)
pqr...N+1(N) = 0
Reduktion der dreidimensionalen Funktionsbasis im R 2
Mit Hilfe der oben zusammengetragenen zweidimensionalen Caley–Hamilton Formeln,
hier insbesondere der Gleichung (C.14), lassen sich die zehn Generatoren der dreidimensionalen
Funktionsbasis (3.50) auf die ersten drei Generatoren reduzieren
T (1) = s , (C.16)
T (2) = s · w − w · s ,
T (3) = s 2 − 1
3 tr{s2 } δ = 0.5 tr{s 2 } δ (2) − 1
3 tr{s2 } δ = 0.5 η1
T (4) = w 2 − 1
3 tr{w2 } δ = 0.5 tr{w 2 } δ (2) − 1
3 tr{w2 } δ = η2
T (5) = w · s 2 − s 2 · w = 0.5 tr{s 2 } w − w = 0 ,
T (6) = w 2 · s + s · ω 2 − 2
3 tr{s · w2 }δ = η2 s = η2 T (1) ,
T (7) = w 2 · s · w − w · s · w 2 = 0.5 η2 T (2) ,
T (8) = s 2 · w · s − s · w · s 2 = −0.5 η1 T (2) ,
T (9) = s 2 · w 2 + w 2 · s 2 − 2
3 tr{s2 · w 2 } δ = 0.5 η1η2 δ (2) − 1
T (10) = w · s 2 · w 2 − w 2 · s 2 · w = 0.25 η1η2
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w − w = 0 .
η1
δ (2) − 2
3 δ
T (3) ,
3 η1η2 δ = η2 T (3) ,
,