Kapitel

2.4. PRIMÄRE, SEKUNDÄRE UND TERTIÄRE STRESS–STRAIN INTERAKTION
Zur Illustration der Defizite linearer Wirbelzähigkeitsansätze in krümmungsbehafteten
Strömungen wird das Beispiel eines Starrkörperwirbels diskutiert, das durch den
z
y
θ
e
θ
W(r)
Abbildung 2.8: Starrkörperwirbel
e
r
isotropen Wirbelzähigkeitsansatz identisch erfüllt
wird. Die Betrachtungen basieren auf der in Abbildung
(2.8) skizzierten Konfiguration in rotierenden
zylindrischen Koordinaten U = W (r) e θ =
(αr) e θ . Anhang B enthält eine Zusammenstellung
der transformierten Bilanzgleichungen verdrallter
Strömungen in zylindrischen Koordinaten.
Die Kontinuitätsgleichung ist in diesem besonders
einfachen Beispiel identisch erfüllt. Die einzig ver-
bleibende Impulsgleichung ist die Transportgleichung der Azimutalgeschwindigkeit
∂
νr
∂r
∂W
− vw r − vw − ν
∂r W
r
=
∂
r
r ∂r
2
νr ∂
W
− vw
∂r r
= 0 .(2.39)
Nach einmaliger partieller Integration von (2.39) mit W (0) = 0 findet man für den
Starrkörperwirbel wegen Srθ = 0 verschwindende Drall–Schubspannungskomponenten
vw = νr ∂
W
= 2 νSrθ = 0 . (2.40)
∂r r
In Bezug auf die Vorhersage von krümmungsinduzierten Variationen der turbulenten
Schubspannungen entnimmt man Gleichung (2.39), daß der isotrope Boussineq–Ansatz
(7.20) immer mit einem Starrkörperprofil für die Umfangsgeschwindigkeit verbunden
ist
vwEVM = −2 νtSrθ ❀ (2.39)
2 (νt + ν) r ∂
W
= 0 ❀ Srθ = 0 (2.41)
∂r r
und folglich auch stets verschwindende Drall–Schubspannungen vorhersagt. Der tertiäre
Effekt eines parabolisch überhöhten Azimutalgeschwindigkeitsprofils ist daher unvereinbar
mit dem isotropen Wirbelzähigkeitskonzept. Ein in der Praxis auftretendes
nichtlineares Azimutalgeschwindigkeitsprofil ist nur durch kubische Wirbelzähigkeitsansätze
simulierbar.
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