Kapitel

KAPITEL
Die Nichtlinearität des ersten Terms der rechten Seite von Gleichung (1.58) verursacht
das Schließungsproblem der statistischen Modellierung. Dieses ist eine unmittelbare
Konsequenz aus der Nichtlinearität des Transporttheorems und kann nur durch einen
Wechsel in die Lagrangsche Betrachtung vermieden werden.
Die Transportgleichung des Fluktuationswertes einer beliebigen skalaren statistischen
Variablen lautet
D ϕ
Dt
∂φ
= − uj
∂xj
+ ∂ϕ
+
∂xj
1
ρ
∂
∂xj
Γφ
∂ϕ
∂xj
+ ∂(ujϕ)
∂xj
+ s′ φ
ρ
. (1.59)
Die zu (1.12) analoge Poissongleichung des fluktuierenden Drucks ergibt sich aus
1
ρ
∂ 2 p
∂xi∂xi
∂Ui
= −2
∂xk
+ eijkΩj
∂uk
∂xi
p schnell
− ∂2 (uiuk)
∂xk∂xi
+ ∂2 (uiuk)
∂xk∂xi
p langsam
1.3.4 Transportgleichungen zweiter statistischer Momente
+ 1 ∂f
ρ
′ i
∂xi
p Auftrieb
. (1.60)
Die Fluktuations–Transportgleichungen (1.57)–(1.59) lassen sich in systematischer Weise
zur Herleitung von Transportgleichungen für höhere statistische Momente verwenden.
Die Transportgleichung der kinematischen Reynolds–Spannungen uiuj erhält
man mit Hilfe der Transportgleichung der Geschwindigkeitsfluktuation (1.58) und der
Abkürzung
N(ui) =
D ui
Dt
aus der Identität
❀
1 ∂p
+
ρ ∂xi
∂Ui
+ uj
∂xj
∂ui
+ uj
∂xj
+ ∂ ′
2νS ij − uiuj + 2eijkΩjuk −
∂xj
f ′ i
ρ
N(ui)uj + uiN(uj) = 0
−Dij
= 0
D(uiuj)
Dt + Gij = φij − εij + Pij − ∂
D
∂xk
t ijk − ν ∂uiuj
. (1.61)
∂xk
In Gleichung (1.61) symbolisieren φij, εij und Pij die Tensoren der Druck–Scher–Korrelation,
viskosen Disspation und Produktion von Reynolds–Spannungen. Die Terme Gij
und (D t ijk ),k benennen die Volumenkraftdichte–Geschwindigkeitskorrelationen und die
turbulente Diffusion, deren Druckanteil von einigen Autoren auch als Druckdiffusion
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