Kapitel

3.1. MATERIELLE OBJEKTIVITÄT
Genügt ein Turbulenzmodell dem Prinzip der materiellen Objektivität, dann dürfen die
Modellgleichungen nicht von der Wahl des Bezugssystems abhängen. Hierzu betrachtet
man zwei Bezugssysteme e und ê, welche durch eine Starrkörperbewegung und eine
Zeittransformation miteinander verbunden sind
ê(x, ˆt) = Q(t) · e(x, t) + b(t) , ˆt = t − to , Q · Q T = δ . (3.1)
Dabei ist Q(t) ein beliebiger, zeitabhängiger orthogonaler Tensor, der entweder eine
Drehung (|Q(t)| = 1) oder eine Spiegelung (|Q(t)| = −1) darstellt und t0 ein konstanter
Zeitpunkt. Die Bewegung b(t) kennzeichnet eine allgemeine zeitabhängige Translation.
In der oben skizzierten allgemeinen Darstellung repräsentiert die Gleichung (3.1)
eine sog. euklidische Transformation. Beschränkt man sich auf die Kombination aus
Starrkörperrotation (Q = const.) und beschleunigungsfreier Translation (b(t) = U 0 t),
dann spricht man von einer Galileitransformation.
Skalare, Vektoren und Tensoren sind objektive räumliche Größen, wenn für deren Darstellung
in den unterschiedlichen Bezugssystemen ê und e folgenden Aussagen gelten
Skalare : ˆy = y (3.2)
Vektoren : ˆy = Q(t) · y
Tensoren zweiter Stufe : ˆy = Q(t) · y · Q T (t)
Wichtige Beispiele für objektive und nichtobjektive Größen lauten:
1) Länge:
dx = x − x0
❀ dˆx = Q · x + b −
Q · x0 + b
Das gerichtete Längenelement ist ein objektiver Vektor.
2) Geschwindigkeitsvektor:
❀
= Q · dx (3.3)
U = dx
dt
dˆx d
Û = = Q · x + b
dˆt dˆt
= Q · U + ˙ Q · x + ˙ b (3.4)
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