Kapitel

KAPITEL
Anstelle der Beziehung (7.67) wird zumeist die asymptotisch korrekte Randbedingung
für den ersten Feldpunkt der Dissipationsrate favorisiert
ε(P ) = 2ν k
∆n2
. (7.68)
Gleichung (7.68) vermeidet numerisch ungünstige Gradientenoperationen, und ist gegenüber
alternativen Vorschlägen in (7.67) wegen der strukturellen Analogie zur high-
Re Randbedingung (7.43) von Vorteil. Der Wandwert der Dissipationsrate ist für die
numerische Integration bedeutungslos (was zu gewährleisten ist!), und kann in Einklang
mit der asymptotischen Entwicklung dem benachbarten Feldwert gleichgesetzt
werden.
In Anlehnung an die unter 2.3.2 gemachten Bemerkungen soll auch für das k − ε Modell
die Konsistenz der Modellgleichungen zu den Randbedingungen überprüft werden.
Mit Hilfe der asymptotischen Entwicklung (7.62) sowie der Geschwindigkeitsbeziehung
(7.56) lassen sich die einzelnen Terme in dem betrachteten Couette-Strömungsbeispiel
nach ihrer Größenordnung in der viskosen Unterschicht abschätzen
D k
Dt
= P − ε − Diffk
mit
(P )
D k
Dt
= 0 . (7.69)
Die Beiträge der Turbulenzenergieproduktion P = usun ∂Us/∂n sind nach (7.62) von
dritter Ordnung, diejenigen aus turbulenter Diffusion Diffk = (cµ k 2 /ε ∂k/∂n),n von
vierter Ordnung klein. Im allgemeinen geht man daher vom Gleichgewicht zwischen
molekular-diffusiven und dissipativen Termen der Turbulenzenenergiegleichung aus
0 = ν ∂2k − ε . (7.70)
∂n2 Dies steht in Einklang mit den oben genannten Randbedingungen und wird auch durch
die in Abbildung (7.8) gezeigten Resultate belegt.
Eine Abschätzung einzelner Terme der Basisgleichung der Dissipationsrate verdeutlicht
die Problematik von einfachen k − ε Formulierungen im low-Re Bereich
D ε
Dt = 0 = Pε − Dissε + Diffε ,
Pε ∼ ε
k P ∼ n , Dissε ∼ ε2
k ∼ n−2 , Diffε ≈ 0 . (7.71)
Gleichung (7.71) läßt sich ohne low-Re Modifikation nicht lösen. Um das Gleichgewicht
wieder herzustellen wird im semi-viskosen Bereich entweder ein zusätzlicher
Produktions- bzw. Quellterm (z.B. Lien und Leschziner (1993)), oder aber eine Reduktion
des Vernichtungsterms (ε → ε − εw) durch entsprechende low-Re Funktionen
eingebracht (z.B. Jones und Launder (1972), Chien (1982), Jakirlić (1997)).
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