Kapitel

KAPITEL
1.3.1 Statistische Mittelung
Bei den im Folgenden definierten Mittelungsoperatoren handelt es sich um die klassische
Reynolds– oder Ensemblemittelung (Reynolds 1895) und die zur Behandlung kompressibler
Strömungen vorteilhafte dichtegewichtete Favré–Mittelung (Favré 1965). Daneben
werden die unter dem Oberbegriff Reynoldssche Mittelung firmierenden Derivativa
der Ensemblemittelung für statistisch stationäre und homogene Strömungen skizziert.
Die Definition der Mittelungsoperatoren macht von Hilfsgrößen Z(i) Gebrauch,
die eine beliebige statistische Variable (U, P , T oder ρ) repräsentieren.
Die Reynoldssche Mittelung ist die am häufigsten gebrauchte Mittelungstechnik.
Ihre allgemeingültigste Definition gründet auf der klassischen Ensemblemittelung
˜Z = Z + z mit ˜ Z = Z bzw. z = 0 . (1.39)
Hierin kennzeichnen ˜ Z den Momentanwert, Z den Mittelwert und z den Schwankungswert
von ˜ Z. Die Definition des Ensemblemittelwerts (·) lautet
Z(x, t) = A E [ ˜
N
1
Z] = lim ˜Zn(x, t) . (1.40)
N→∞ N
Für einen im Mittel stationären Prozess geht der Ensemblemittelwert nach dem Ergoden–
Theorem in den zeitlichen Mittelwert über
Z(x) = A T [ ˜ Z] = lim
δt→∞
1
δt
n=1
t+δt/2
t−δt/2
˜Z(x, t ′ ) dt ′ . (1.41)
Im Falle einer homogenen (translationsinvarianten) Strömung ist das Ensemblemittel
äquivalent zu einem räumlichen Mittelwert, welcher durch
Z(t) = A S [ ˜
1
Z] = lim ˜Z(x, t) dV
V→∞ V
′ , (1.42)
erklärt ist. Die Mittelwerte werden auch als erste statistische Momente bezeichnet. Aus
der Definition der oben angeführten Mittelwerte lassen sich eine Reihe von Rechenregeln
ableiten, die bei der Herleitung der statistisch gemittelten Transportgleichungen
Verwendung finden
˜Z = Z = Z , ˜ Z(1) + ˜ Z(2) = Z(1) + Z(2) , ˜ Z,x = Z ,x ,
˜Zdx = Z dx , Z(1) . . . Z(i) z(k) = 0 , Z(1) . . . Z(i) z(k) . . . z(l) = 0 .
V
(1.43)
Die Zerlegungen der wichtigsten im Verlauf dieser Vorlesung verwendeten Variablen
lauten
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