Kapitel

2.3. ISOTROPE ZWEI–PARAMETER–WIRBELZÄHIGKEITSMODELLE
2.3.2 Alternative Zwei–Parameter–Formulierungen (k n − ζ Modelle)
Prinzipiell sind sämtliche Variablenkombinationen k n und ζ, deren Darstellung der
Wirbelzähigkeit
die Restriktion
ζ = c 1−a
µ
k 2−b ε −1 1/c = c 1−a
µ
νt = c a µ k b ζ c
T 2b−1
t
L 2b−21/c
1−a
t = cµ V 1−2b 1/c t Lt
(2.30)
(2.31)
erfüllt, zur Modellierung geeignet. Die Transportgleichungen der Variablen k n und ζ
gewinnt man durch Anwendung der Kettenregel auf die oben angeführten Gleichungen
(2.17) und (2.18) für k bzw. ε
Dkn Dt = nk n−1 Dk
Dt
Dζ
Dt =
2 − b
c
, (2.32)
c 1−a
µ
k2−b−c
1/c
ε
Dk
Dt
− 1
c
c 1−a
µ
k2−b ε1+c 1/c Dε
Dt
. (2.33)
Die Transformationsbeziehungen zur Formulierung der ζ–Gleichung erleichtern sich
erheblich durch die Annahme von P rk =P rε in (2.33). Die tatsächlich verwendete
Prandtl–Zahl wird im Anschluß an die Herleitung der Transportgleichung durch die
Formulierung einer zu (2.25) analogen Verträglichkeitsbeziehung fixiert.
Neben dem k − ε Modell ist vor allem das von Wilcox (1988) entwickelte k − ω Modell
νt = k
ω
❀ n = b = −c = 1 und a = 0
weit verbreitet. Die aus der Transformationsbeziehung (2.33) abgeleitete Transportgleichung
der spezifischen Dissipationsrate ω = ε/(cµk) lautet
Dω ω
= (Cε1 − 1) P − cµ(Cε2 − 1) ω k +
Dt k
1
ν +
∂xk
νt
∂ω
(2.34)
P rω ∂xk
2 ∂k ∂ω
+
.
ω P rω ∂xk ∂xk
In der von Wilcox (1988) angegebenen Form wird der letzte Summand der Gleichung
(2.34) unterdrückt. Wilcox (WC) bevorzugt die Koeffizientenkombination
Wilcox k − ω Modell : cµ = 0.09 , Cε2 = 1.83 , Cε1 = 1.55 , P rk = P rω = 2 .
Der Vorteil des k−ω Modells ist dessen inhärente Konsistenz zu den Gesetzmäßigkeiten
des semi–viskosen und voll–turbulenten logarithmischen Bereichs (vgl. Anhang D oder
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