Kapitel

10.3 Realisierbarkeit
10.3. REALISIERBARKEIT
Die Reynolds–Spannungen entsprechen den zweiten statistischen Momenten von Geschwindigkeitsfluktuationen
und genügen daher fundamentalen statistischen Zusammenhängen.
Diese werden im Rahmen der numerischen Strömungsmechanik häufig
unter dem Begriff Realisierbarkeit oder dem englischen Terminus Realizability–Prinzip
zusammengefaßt (Schumann 1977; Lumley 1978). Neben der bereits in Kapitel 6.4
skizzierten Schwartzschen Ungleichung zählt insbesondere die Gewährleistung positiver
Varianzen zu den Inhalten des Realizability–Prinzips
u 2 α ≥ 0 → keine negative Varianz, (10.18)
u 2 α u 2 β − (uαuβ) 2 ≥ 0 → Ungleichung nach Schwartz. (10.19)
Da es sich bei den Varianzen um Anteile kinetischer Turbulenzenergie handelt, ist
die Realizability-Restriktion (10.18) auch physikalisch einsichtig: Energie ist nie negativ.
Die Schwartzsche Ungleichung ergibt sich aus der Tatsache, daß die Reynolds-
Spannungen durch einen symmetrischen, positiv semi-definiten Tensor repräsentiert
werden bzw. Korrelationskoeffizienten größer Eins unzulässig sind. Eine strengere Form
der Realisierbarkeit befaßt sich mit dem Verhalten der Reynolds–Spannungen bei Erreichen
der Minima von (10.18) und (10.19). Das absolute Minimum ist in diesem Falle
das einzige physikalisch realisierbare Szenario, weswegen die erste zeitliche Ableitung
der beiden linken Seiten verschwinden, und die erste von Null verschiedene Zeitableitung
positiv sein muß.
X 2
X 2
(a)
X 1
X 1
X 2
X 2
Ω3
X 1
X 2 X 1
(b) (c)
Abbildung 10.9: Illustration der Anwendungsbeispiele der Realisierbarkeitsuntersuchung;
(a) ebene Scherströmung, (b) rotierende bzw. gekrümmte Scherströmung, (c) rotationsfreie
Distorsion (Beschleunigung).
Für die im Folgenden durchgeführte Realizability–Untersuchung spielt die strenge Form
der Realisierbarkeit keine Rolle. Da die Gewährleistung der Schwartzschen Ungleichung
bereits in Kapitel 6.4 ausführlich erörtert wurde, beschränken sich die anschließenden
Untersuchungen auf die Normalspannungs–Realizability u 2 α ≥ 0.
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X 1
X 2
X 1
X 3