Kapitel

KAPITEL
Stabilitätsuntersuchung
Der Gleichgewichtszustand einer homogenen Scherströmung ist nach Gleichung (10.4)
durch das exponentielle Anwachsen der Turbulenzenergie k∞ gekennzeichnet
∂k∞
∂τ =
Cε2 − Cε1
Cε1 − 1
S −1
∞
k , mit τ = t S ∗ = t
Tt
2 η1 .
Die einzige Möglichkeit, die Strömungssituation zu stabilisieren, ist mit den Nullstellen
des inversen Scherratenparameters S −1
∞ = (S ∗ k/ε) −1
∞ verbunden. Eine Stabilisierung
gelingt offenkundig nur im trivialen Fall der verschwindenden Scherrate bzw. Turbulenzenergie.
Betrachtet man die Strömung nicht im Inertialsystem, sondern in einem
mit Ω3 stationär rotierenden Bezugssystem, dann läßt sich aus der Untersuchung der
Nullstellen von S −1
∞ ein Verzweigungsproblem ableiten. Ausgangspunkt der Analyse ist
die Definition der spezifischen Produktionsrate nach Gleichung (10.3)
P
lim =
τ→∞ ε ∞
Cε2 − 1
Cε1 − 1 := C5 , mit
P
ε
= −uv S∗
ε = cµ S 2 . (10.30)
Mit Hilfe der in Gleichung (10.23) notierten Belegung der Wirbel– und Scherratentensoren
ergibt sich
η1 = 0.5S 2
4 − C4 2Ω3
, η2 = −η1 1 −
2 − C4 S∗
:=γ
cµ =
−β1/g
1 + S2 (β2/g) 2 (1 − γ) 2 − 1/3 (β3/g)
2 , (10.31)
und damit von (10.30) für den reziproken Gleichgewichtswert des Scherratenparameters
S −1
∞
=
−C5 β1
g
−0.5 2 β2 1 − C5
{1 − γ}
−g β1
2 − 1
3
2
,
β2 3
β2 0.5 2
. (10.32)
Der erste Faktor von (10.32) ist stets positiv und kommt für eine Stabilisierung nicht in
Frage. Der zweite Faktor besitzt jedoch zwei reelle Nullstellen, die bei Durchlaufen der
in Tabelle 10.5 angegebenen charakteristischen Rotationsraten (Ω3/S ∗ )1,2 auftreten.
Zwischen diesen beiden Rotationsraten ist S −1
∞ > 0, und die Turbulenz wird angefacht.
Außerhalb des durch die Nullstellen festgelegten Intervalls
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