Kapitel

ANHANG C
Caley–Hamilton Theorem im R 2
Viele Strömungssituationen sind zumindest näherungsweise durch den analogen (einfachen)
Rangabfall des Scherraten– und Wirbeltensors gekennzeichnet. In diesem Fall
genügen beide Tensoren einer zweidimensionalen Form
⎡
C = ⎣
⎤
C11 C12 0
C21 C22 0
0 0 0
⎦ , (C.7)
welche teilweise einer vorhergehenden Hauptachsentransformation bedarf. Für 3 × 3
Matrizen vom Rang Zwei kann eine restriktivere Form des Caley–Hamilton Theorems
formuliert werden, mit Hilfe dessen sich Tensoren zweiten Grades auf lineare Terme
zurückführen lassen. Die mit einem Rangabfall verbundene Verringerung des Grades
erkennt man deutlich anhand von Gleichung (C.1); für verschwindende Determinanten
(det Aij) läßt sich die klassische Caley–Hamilton Beziehung zu einer quadratischen
Gleichung kürzen.
Die allgemeine Herleitung der zweidimensionalen Caley–Hamilton Gleichung geschieht
analog zur Entwicklung des oben skizzierten Theorems für quadratische Matrizen vom
Rang Drei. Sie verknüpft aufgrund des geringeren Ranges jedoch nur noch zwei Matrizen
Aij und Bij. Die Indizes der 2×2 Matrizen Aij und Bij können nur zwei veschiedene
Werte (1, 2) annehmen, dies gilt auch für eine entsprechend definierte Einheitsmatrix
δ (2) des R 2
⎡
δ
⎢
⎣
(2)
ip
δ (2)
jp
δ (2)
kp
δ (2)
iq
δ (2)
jq
δ (2)
kq
δ (2)
ir
δ (2)
jr
δ (2)
kr
⎤
⎥
⎦ ❀ δ pqr
δ
(2)
ijk =
(2)
ip
δ (2)
jp
δ (2)
kp
δ (2)
iq
δ (2)
jq
δ (2)
kq
δ (2)
ir
δ (2)
jr
δ (2)
= 0 , (C.8)
weswegen die Determinante δ pqr(2)
ijk in (C.8) verschwindet. Multipliziert man hierin die
erste Zeile mit Api und die zweite Zeile mit Bqj, dann ergibt sich
δ
(2)
App Apq Apr
Bqp Bqq Bqr
kp
δ (2)
kq
δ (2)
kr
kr
= 0 . (C.9)
Löst man die zuletzt notierte Determinante nach der dritten Zeile auf, dann ergibt sich
die gesuchte Caley–Hamilton Beziehung des R 2
AikBkj + BikAkj = AijBkk + BijAkk − δ (2)
ij (AkkBll − AlkBkl) . (C.10)
Hieraus läßt sich mit Hilfe von A = B das Pendant zur Gleichung (C.1) gewinnen
A 2 ij = Aij (Akk) − 0.5 δ (2)
ij AkkAll − A 2
kk . (C.11)
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