Kapitel

Anhang B Koordinatentransformation
Das Strömungsfeld einer verdrallten Scherströmung wird, aufgrund der hypothetisch
vorausgesetzten Achsensymmetrie, in geeigneter Weise durch physikalische Zylinderkoordinaten
beschrieben
˜e i = [˜e r; ˜e θ; ˜e x] ,
mit ˜e x = e x , ˜e r = cos θe y + sin θe z , ˜e θ = − sin θe y + cos θe z . (B.1)
Die Problemstellung ist in Abbildung (B.1) skizziert. Die räumlichen Ableitungen er-
y
U(r)
x
Abbildung B.1: Verdrallte Strömung auf der Basis von Zylinderkoordinaten < r, θ, x >.
geben sich aus
∂
∇ = ˜e i
∂˜xi
mit
∂
∂˜xi
=
z
∂ ∂ ∂
; ;
∂r r∂θ ∂x
y
θ
e
θ
W(r)
e
r
. (B.2)
Obwohl das Strömungsfeld in Umfangsrichtung homogen ist, kann die Ableitung nach θ
wegen der Rotation der Basisvektoren ˜e i nicht vernachlässigt werden. Die Ableitungen
der Basisvektoren notieren sich unter Verwendung physikalischer Christoffelsymbole
˜Γ k ij zu
∂˜e i
∂˜xj
= ˜ Γ k ij˜e k mit ˜ Γ 2 12 = − ˜ Γ 1 22 = 1
r
. (B.3)
Mit Hilfe der in (B.3) definierten Koordinatenableitung erhält man die unten notierte
Darstellung häufig verwendeter Differentialoperationen
∇ ˜
∂
φ =
˜ φi
+
∂˜xj
˜ φk ˜ Γ j
ki ˜e i˜e j , ∇ ˜
∂
φ =
˜ φjk
+
∂˜xi
˜ φmk ˜ Γ j
mi + ˜ φjm ˜ Γ k
mi ˜e i˜e j˜e k . (B.4)
Vernachlässigt man im Weiteren die Ableitungen in Umfangsrichtung, dann ergeben
sich die unten genannten transformierten Bilanzgleichungen.
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