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führt unmittelbar auf<br />
η1 = 2 (s 2 αβ + s 2 αγ) , η2 = 2 (ω 2 αβ + ω 2 αγ) η3 = η4 = 0 ,<br />
η5 = 0.5 η1η2 − s 2 αγw 2 αβ + w 2 αγs 2 αβ − 2sαγsαβwαγwαβ<br />
3.3. DARSTELLUNGSTHEORIE<br />
≥ 0.25 η1η2 . (3.58)<br />
Die Abweichung der Invarianten η5 vom 2D Zustand (3.54) ist ein Maß für die lokale<br />
Krümmung. Für krümmungsarme Zustände gilt wαγ ≈ sαγ bzw. wαβ ≈ sαβ, und man<br />
erhält lokal zweidimensionale Strömungen mit η5 = 0.5 η1η2. Der zweiachsige Zustand<br />
liesse sich in diesem Falle durch Drehung des Koordinatensystems in einen einachsigen<br />
Zustand überführen.<br />
Ein weiteres, für die Modellierung wichtiges Beispiel bezieht sich auf die eingangs<br />
erwähnte Durchströmung eines um die Symmetrieachse rotierenden Rohres (vergleiche<br />
Abbildung 2.7). Der vollentwickelte Strömungszustand ist in Bezug auf die Umfangs–<br />
und Axialkoordinate (θ bzw. x) symmetrisch. Die in Anhang B notierte Darstellung<br />
der Geschwindigkeitsgradienten–Tensoren in physikalischen < dr, r dθ, dx > Zylinderkoordinaten<br />
reduzieren sich in diesem Falle auf<br />
sij = Tt<br />
2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 r ∂(W/r)<br />
∂r<br />
∂U<br />
∂r<br />
r ∂(W/r)<br />
∂r 0 0<br />
∂U 0 0<br />
∂r<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ , wij = Tt<br />
2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 − 1 ∂(rW )<br />
r ∂r<br />
− ∂U<br />
∂r<br />
1 ∂(rW )<br />
r ∂r 0 0<br />
∂U<br />
∂r 0 0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ . (3.59)<br />
Experimentelle Untersuchungen und direkte numerische Simulationen (Kikuyama et al.<br />
1983; Reich und Beer 1989; Imao et al. 1996; Orlandi und Fatica 1997) belegen einen<br />
quadratischen Verlauf der Umfangsgeschwindigkeit W = WR(r/R) 2 , die nach Glei-<br />
chung (2.39) durch<br />
νr ∂<br />
<br />
<br />
W<br />
<br />
= 2 k brθ = 2 k aγ T<br />
∂r r<br />
γ<br />
(γ)<br />
<br />
rθ<br />
(3.60)<br />
bestimmt ist. Keiner der in Gleichung (3.50) angeführten quadratischen Generatoren<br />
T (2,3,4)<br />
ij leistet einen Beitrag zu brθ. Der lineare Generator kann durch die linke Seite<br />
absorbiert werden und vermag daher keine Starrkörperlösung zu unterdrücken<br />
(ν − 2a1 kTt) r ∂<br />
<br />
10<br />
W<br />
= 2 k aγ T<br />
∂r r<br />
(γ)<br />
<br />
rθ .<br />
Der erste weitere Generator mit von Null verschiedener rθ–Komponente ist T (5)<br />
ij . Daraus<br />
ergibt sich z.B. eine Beziehung zur Evaluierung der gewählten Koeffizienten a1 und a5<br />
<br />
= a5 k s 2 rx(srθ − wrθ) = 0.25 a5 kT 3<br />
2 t<br />
.<br />
(ν − 2a1 kTt) r ∂<br />
∂r<br />
W<br />
r<br />
γ=5<br />
W<br />
r<br />
+ ∂W<br />
∂r<br />
∂U<br />
∂r<br />
❀ a1<br />
≈ −<br />
a5<br />
3<br />
4 η1 .<br />
Eine etwas elaboriertere Strategie zur Formulierung eines kubischen Modells wird in<br />
<strong>Kapitel</strong> 8.5 dargestellt.<br />
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