Kapitel

9.3 Selbstkonsistente Technik
9.3. SELBSTKONSISTENTE TECHNIK
Die selbstkonsistente Formulierung erhält man durch die Projektion der exakten Produktionsbeziehung
(4.2) in die gewählte Funktionsbasis. Beschränkt man sich dabei
der Einfachheit halber erneut auf inkompressible Strömungen, dann ergibt sich
P
ε
g
=
P
ε
= −2bijsij = −2A T (1)
ij sij − 2B T (2)
ij sij − 2C T (3)
ij sij . . . , (9.18)
ohne daß Ad–hoc–Annahmen für die spezifische Produktionsrate gemacht werden müssen.
Projektion in die lineare Basis
Im Falle eines linearen Ansatzes (6.6) enthält die selbstkonsistente Bestimmungsgleichung
der spezifischen Produktionsrate
P
−2β1η1
=
ε C1 − 1 + P/ε − 2β3 (η3/η1)
g
formal zwei Lösungen, von denen hier nur die positive Wurzel sinnvoll ist
P
ε g
= − 1
2
C1 − 1 − β3
η3
η1
+
1
4
C1 − 1 − β3
2 η3
η1
− 2β1η1
0.5
. (9.19)
Der Ansatz (9.19) ist wegen g ∼ √ η1 mit einem asymptotisch korrekten Verhalten des
Anisotropieparameters verbunden. Die Güte des o.a. Lösung prüft man geeigneterweise
am Beispiel konventioneller, zweidimensionaler, homogener Scherströmungen, deren
Richtwerte in Tabelle 9.2 zusammengefasst sind. Ein Vergleich mit Tabelle 4.2 ergibt,
daß keines der aufgelisteten RSTM im Zusammenhang mit (9.19) befriedigende Lösungen
erzielt. Die Gründe hierfür liegen in der unterbestimmten Funktionsbasis, weswegen
eine Manipulation der Koeffizienten (z.B. C1=3.0 und C2=0.8) angebracht ist. Darüber
hinaus fehlt der linearen Projektion die Sensitivität für Krümmungsmechanismen, da
die Invarianten des Wirbeltensors nicht in Erscheinung treten.
Tabelle 9.2: Richtwerte der spezifischen
Produktionsrate in einer ebenen (homogenen)
Scherung.
S η1 η2 η3 P/ε
6.0 18 -18 0 ≈ 2
3.3 5.445 -5.445 0 ≈ 1
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