Kapitel

Anhang A Invarianten des Anisotropietensors
Der Anisotropietensor der Reynolds–Spannungen (2.9) besitzt als symmetrischer Tensor
zweiter Stufe drei reelle Lösungen ξk (k=1,2,3) zur Säkulargleichung
det (bij − ξkδij) = 0
= ξ 3 k − Ibξ 2 k + IIbξk − IIIb = 0 . (A.1)
Die in (A.1) verwendeten skalaren Ausdrücke Ib,IIb und IIIb sind die Invarianten des
Tensors bij, deren Definition unmittelbar aus der Säkulargleichung folgt:
Ib = bkk = tr{b} = 0 , (A.2)
IIb = 1
2 (bkkbmm − bkmbmk) = 1
2
tr 2 {b} − tr{b 2 } = − 1
2 tr2 {b} ,
IIIb = det (bij) = 1
6 (bkkbmmbnn − 3bkkbmnbnm + 2bkmbmnbnk)
= 1 3 2 3 1
tr {b} − 3tr{b}tr{b } + 2tr{b } =
6
3 tr{b3 } .
Die erste Invariante Ib verschwindet aufgrund der Spurfreiheit von bij. Den drei Eigenwerten
ξk sind drei paarweise orthogonale Eigenvektoren zugeordnet. Wählt man die
Eigenvektoren als Basisvektoren, dann kann bij durch eine Hauptachsentransformation
auf Diagonalgestalt gebracht werden
⎛
bij = ⎝
ξ1 0 0
0 ξ2 0
0 0 ξ3
⎞
⎠ . (A.3)
Von Interesse ist die Darstellung der Invarianten im Hauptachsensystem von bij
Ib = bkk = ξ1 + ξ2 + ξ3 = 0 , (A.4)
2
ξ1 + ξ
2
2 2 + ξ 2 3 , (A.5)
3
ξ1 + ξ 3 2 + ξ 3 3 . (A.6)
IIb = − 1
2 (bkmbmk) = − 1
IIIb = 1
3 (bkmbmnbnk) = 1
3
Wie man leicht überprüfen kann, gilt für die Diagonalelemente des Anisotropietensors:
2
3 ≥ bαα ≥ − 1
3
→ 2
3 ≥ ξk ≥ − 1
. (A.7)
3
Das Realizability-Prinzip legt die Grenzen möglicher Reynolds–Spannungszustände
präzise fest. Diese Grenzen lassen sich auf der Basis signifikanter Extrema der beiden
Hauptinvarianten IIb und IIIb im Hauptachsensystem diskutieren
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