Kapitel

KAPITEL
Die Transportgleichung einer beliebigen Doppelkorrelation (uiϕ) findet man
unter Verwendung des Operators
D ϕ
N(ϕ) =
Dt +
∂φ
ui +
∂xi
∂ϕ
−
∂xi
1
∂ ∂ϕ
Γφ −
ρ ∂xi ∂xi
∂(uiϕ)
−
∂xi
s′ φ
= 0
ρ
aus der Identität
D(uiϕ)
Dt
= −
uiuk
∂φ
∂xk
− (Γφ + ν) ∂ui
∂xk
N(ϕ)ui + ϕN(ui) = 0 ,
+ ukϕ ∂Ui
+
∂xk
(uisϕ)
ρ − 2eijkΩj(ukϕ) + 1
ρ
∂ϕ
−
∂xk
∂
(ukuiϕ) +
∂xk
1
ρ (pϕ) δik
∂ϕ
− Γφ ui
∂xk
∂ϕ
p +
∂xi
(ϕf ′ i )
ρ
(1.65)
− ν ϕ ∂ui
∂xk
Mit Ausnahme des Konvektionsterms der substantiellen Ableitung beeinflussen die
Mittelwerte der ursprünglichen Variablen die Entwicklung der zweiten statistischen
Momente nur durch ihren räumlichen Gradienten. Für konstante Gradienten der Mittelwerte
lassen sich daher homogene höhere statistische Momente verwirklichen (homogene
Turbulenz). In diesem Falle entkoppeln die Transportgleichungen der Mittelwerte
(1.49)–(1.52) von den zweiten statistischen Momenten. Für die Entwicklung von Turbulenzmodellen
ist dieser Zustand besonders attraktiv, weil er zu geschlossenen Lösungen
führt.
1.3.5 Schließungsproblem
Aus den Transportgleichungen der zweiten statistischen Momente (1.61), (1.64) und
(1.65) ergibt sich der Bedarf zur Schließung bzw. Modellierung weiterer statistischer
Momente, deren Transportgleichungen sich analog zu den oben entwickelten Doppelkorrelations–Bilanzen
herleiten lassen. Transportgleichungen für die in den Diffusionstermen
auftretenden Trippelkorrelationen ϕ1ϕ2ϕ3 erhält man z.B. von
ϕ1ϕ2Nφ3 + ϕ2ϕ3Nφ1 + ϕ3ϕ1Nφ2 = 0 .
Der Transport der isotropen Dissipationsrate ε ergibt sich nach kurzer Zwischenrechnung
von (Nui ),m (Nui ),m = 0 zu
Dε
Dt
=
−2ν Sij (ui,kuj,k + uk,iuk,j) + ∂2
Ui
(ujui,k) + (ui,jui,kuj,k)
∂xj∂xk
−2ν
(1.66)
2 (ui,jkui,jk) − ∂
ν (ui,jui,jum) +
∂xm
2
ρ (p,ium,i)
− ν ∂ε
∂xm
+2ν
.
1
ρ (ui,mf ′ i,m ) − 2eijkΩj(ui,muk,m)
22
.