Kapitel

KAPITEL
Die Güte der Padé–Aproximation ist an die Gültigkeit von
2 β3
η1 ≤ 10
g
−1
❀ 2η1 = S 2 ≤ 2 · 10 −1
g
β3
2
≈ 10 1
(9.15)
gebunden. Das GS–EASM entspricht somit für nichtgleichgewichtige Zustände nicht
mehr der ursprünglichen Formulierung. Angesichts der Tatsache, daß eine Singularität
der Ausgangsgleichung (9.13) erst bei η1 = 1.5 (β3/g) 2 auftritt, weicht die Padé–
Aproximation unnötigerweise bereits für völlig unkritische Distorsionzustände von der
Ausgangsformulierung ab. Unglücklicherweise hängt die Güte der Padé–Approximation
von der Wahl der Koeffizienten C1, C ∗ 1 und C3 ab. Die Werte des hierfür relevanten
Parameters (β3/g) 2 sind in der zweiten Zeile von Tabelle 9.1 angeführt. Mit steigendem
(β3/g) 2 sinkt die Güte der Approximation. Die Auswirkungen der Padé–
Approximation hängen, wie im Kapitel 7.1 demonstriert, zudem stark vom gewählten
Rotta–Koeffizienten ab.
Einfache, gleichgewichtsnahe Zustände können bereits mit herkömmlichen Zwei–Parameter–Modellen
recht gut vorhergesagt werden. Die Motivation zur Entwicklung einer
höherwertigen Modellierung ist eng mit dem Bestreben verbunden, Nichtgleichgewichtssituationen
besser darstellen zu können. Die aus der Regularisierung resultierenden
erheblichen Genauigkeitsverluste bei der Vorhersage von Nichtgleichgewichtszuständen
sind von einer Reihe von Autoren (z.B. Rumsey et al. 1999) festgestellt
worden. Vor diesem Hintergrund sollte die vorgeschlagene Regularisierung mit großer
Skepsis betrachtet werden. Ferner drohen bei der Behandlung stark nichtgleichgewichtiger
Strömungen negative Normalspannungskomponenten, welche in Einzelfällen (?)
zu einer Verfahrensdivergenz führen können.
Der Anisotropieparameter sollte mit steigenden η1 sinken. Ein kontrollierter Abfall von
cµ zu endlich kleinen positiven Grenzwerten kann nach Gleichung (9.1) jedoch nur für
g ∼ √ η1 ❀ cµ ∼ η −1/2
1
(9.16)
realisiert werden. Die Beziehung (9.16) gewährleistet zudem die Konsistenz zur RDT
und zum Realizability–Prinzip (siehe Kapitel 7). Demgegenüber besitzen sowohl die
auf der Basis einer einfachen Padé–Approximation (9.14) regularisierte Variante, als
auch die nicht regularisierte Variante des Anisotropieparameters ein falsches, teilweise
sogar uneinheitliches, asymptotisches Verhalten
ĉµ(η1 = 0) ∼ η −1
2 , ˜cµ(η2 = 0) ∼ η 0 1 bzw. ˜cµ(η1 ≈ −η2) ∼ η −1
1 . (9.17)
Verbesserte, asymptotisch korrekte Regularisierungsvorschläge, auf die hier nicht näher
eingegangen werden soll, findet man beispielsweise bei ?) oder ?). Eine Regularisierung
erscheint im Vergleich zu den unten skizzierten selbstkonsistenten bzw. quasi–
selbstkonsistenten Techniken nicht ratsam.
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