Kapitel

4.1. LINEARE TRANSPORTGLEICHUNGSMODELLE
vor. Die zu modellierenden Terme umfassen neben dem Diffusionstensor Dij die Tensoren
der Druck–Scher–Korrelation φij und der viskosen Dissipation ɛij, welche die
Umverteilungs– und Vernichtungsmechanismen des Turbulenzfeldes beschreiben.
4.1.1 Diffusion Dij
Der quantitative Beitrag der Diffusion zur Transportgleichung (4.1) ist in der Regel
von untergeordneter Bedeutung. Der Diffusionstensor Dij spielt darüber hinaus für
die Inhalte dieser Lehrveranstaltung keine Rolle. Für seine Modellierung wird von den
meisten Autoren die einfachste Form nach Daly und Harlow (1970) favorisiert
D DH
ij = ∂
k ukul ∂uiuj
νδkl + Cs
, mit Cs = 0.22 . (4.3)
∂xk
ε ∂xl
Den wichtigsten Beitrag zur Diffusion Dij liefert nach Gleichung (1.62) die turbulenten
Diffusion ∂(uiujuk)/∂xk. Im Unterschied zur Tripelkorrelation uiujuk ist das Argument
des Gradientenoperators DDH ij in der Formulierung (4.3) nicht unabhängig von der
Indexstellung (i, j, k). Alternative Vorschläge, wie z.B. der von Hanjalić und Launder
(1972) veröffentlichte Ansatz
D HL
ij = ∂
˜Cs k
uiul
∂xk ε
∂ujuk
∂xl
+ ujul
∂uiuk
∂xl
∂uiuj ∂uiuj
+ ukul + νδkl
∂xl
∂xl
(4.4)
( ˜ Cs = 0.11), weisen diesen formalen Nachteil nicht auf. Eine Unabhängigkeit von der
Indexstellung führt jedoch zu wesentlich komplexeren Formulierungen.
Im Unterschied zur Wirbelzähigkeitsmodellierung treten im Zusammenhang mit Reynoldsspannungsmodellen
anisotrope effektive Zähigkeiten auf, deren Implementierung
signifikante Modifikationen des numerischen Algorithmus erfordert. Für das oben notierte
Diffusionsmodell nach Daly-Harlow findet man beispielsweise
ν eff
11 = ν + Cs
k u 2
ε
, νeff
22 = ν + Cs
k v 2
ε
k uv
, νeff 12 = ν + Cs
ε
Die i.Allg. geringe Bedeutung der turbulenten Diffusion steht im Widerspruch zur Komplexität
ihrer numerischen Umsetzung und motiviert weitere, isotropisierende Vereinfachungen
des Diffusionsmodells, welche bereits im Zusammenhang mit der Gradientendiffusion
(2.16) erläutert wurden
D iso
ij = ∂
δkl ν +
∂xk
Ĉs
k ukul ∂uiuj
=
ε ∂xl
∂
k
ν + cµ
∂xk
2
∂uiuj
. (4.5)
ε ∂xk
83
.