Kapitel

KAPITEL
Für die Beantwortung der Frage, ob man zur Modellbildung auch nichtobjektive
Größen verwenden kann ist die präzise Definition der Aufgabe des Turbulenzmodells
von großer Relevanz. Ein Turbulenzmodell dient üblicherweise nicht
der direkten Bestimmung von Reynolds–Spannungen, sondern der Schließung
ihrer Transportgleichung. Die eingesetzten Modelle müssen daher lediglich die
unter (3.11) notierte Beziehung befriedigen.
Die Transportgleichung der Geschwindigkeitsfluktuationen ist unabhängig von der Wahl
zweier Bezugssysteme, welche durch die folgende erweiterte Galilei–Transformation
miteinander verbunden sind
ê(x, ˆt) = Q · e(x, t) + b(t) . (3.12)
Im Unterschied zur klassischen Galilei–Transformation erlaubt die erweiterte Galilei–
Transformation (3.12) eine translatorische Beschleunigung (b(t) = U o t). Man beachte,
daß die Darstellung des Wirbeltensors Wij für Q = const gemäß Gleichung (3.8)
ebenfalls unabhängig gegen einen durch (3.12) beschriebenen Wechsel des Beobachtersystems
ist und daher für die Modellbildung verwendet werden kann.
3.2 Realisierbarkeit
Bei der ins Auge gefassten Modellbildung handelt es sich um eine statistische Betrachtung.
Ausgangspunkt der Vorgehensweise ist die in Kapitel 1.3.1 dargestellte Zerlegung
der Momentanwerte ˜ φ in einen (Ensemble–)Mittelwert φ und eine entsprechende Fluktuation
ϕ
˜φ = φ + ϕ .
Die Reynolds-Spannungen genügen folglich fundamentalen statistischen Zusammenhängen,
die im Rahmen der numerischen Strömungsmechanik häufig unter dem Begriff
Realizability– oder auch Realisierbarkeits–Prinzip zusammengefaßt werden:
u 2 α ≥ 0 → keine negative Varianz, (3.13)
u 2 α u 2 β − (uαuβ) 2 ≥ 0 → Ungleichung nach Schwartz. (3.14)
Da es sich bei u 2 α um Anteile turbulenter kinetischer Energie handelt, ist die erste der
beiden Realizability-Restriktionen auch physikalisch einsichtig: Energie ist nie negativ.
Die Schwartzsche Ungleichung (3.14) ergibt sich mathematisch aus der Tatsache, daß
die Reynolds-Spannungen durch einen symmetrischen, positiv semi-definiten Tensor
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