Kapitel

Kapitel 8 Eingleichungsmodelle
Die Simulation industrieller Strömungsprobleme basiert aus Effizienz- und Stabilitätsgründen
zumeist auf linearen niederparametrigen Wirbelzähigkeits–Turbulenzmodellen
(EVM). Hierzu zählen beispielsweise das algebraische Baldwin–Lomax Modell (1978),
das Spalart–Allmaras (1992) Einparametermodell und das k–ε Zweiparametermodell
(Jones und Launder 1972). Für den Einsatz in extrem kostenintensiven Simulationsaufgaben,
beispielsweise der Untersuchung instationärer Strömungsphänomene an hochbelasteten
dreidimensionalen Konfigurationen, besteht gegenwärtig ein Trend zur Verwendung
von Einparametermodellen. Ungeachtet ihrer simplen Formulierung und der
numerischen Vorteile ist die Einparametermodellierung mit Defiziten in Bezug auf die
physikalisch korrekte Darstellung von Nichtgleichgewichtszuständen behaftet. Die Formulierung
von Eingleichungsmodellen basiert in der Regel auf der hypothetischen Annahme
des lokalen Gleichgewichtszustands zwischen Produktion(P ) und Dissipation(ε)
von Turbulenzenergie(k):
P ≡ ε .
Dabei handelt es sich nicht um eine partiell in den Modellierungsprozess eingebrachte
Annahme zur Vereinfachung einzelner Terme, sondern vielmehr um einen inhärenten
Bestandteil der Modellierungspraxis. Die Güte der numerischen Simulation auf der
Basis von Eingleichungsmodellen ist folglich in besonderer Weise von der Gültigkeit
dieser Voraussetzung abhängig. Exemplarisch für diesen Sachverhalt soll im Folgenden
das Eingleichungsmodell von Spalart und Allmaras (1992) analysiert werden. Durch
Herleitung des Modells aus hierarchisch übergordneten Zweiparametermodellen wird
zunächst die besondere Problematik der Parameterreduktion in Hinblick auf die Erweiterung
des Gültigkeitsbereichs mit rationalen Techniken herausgearbeitet.
8.1 Spalart–Allmaras Modell
Ausgangspunkt der vorliegenden Untersuchungen ist das Eingleichungsmodell von Spalart
und Allmaras (1992). Die wesentlichen Bestandteile des Spalart–Allmaras (SA)
Modells sind zum einen eine modifizierte Variante des Wirbelzähigkeitsprinzips für
inkompressible Medien (Boussinesq 1877):
uiuj = −νt Sij ,
νt = fν1 ˜νt , (8.1)
sowie zum anderen eine semi-empirische Transportgleichung zur Bestimmung der Wirbelzähigkeit
˜νt:
D˜νt
Dt
∂
− ν +
∂xk
νt
∂˜νt
= P˜νt +
P r˜νt ∂xk
Produktion
∂˜νt ∂˜νt Cb2
∂xk ∂xk P r˜νt
nicht konserv. Diffusion
142
− fw
Cb1
˜ν 2 t
κ2 1 + Cb2
+
P r˜νt l2 n
Vernichtung
.(8.2)