Kapitel

KAPITEL
Projektion in eine quadratische Zwei–Generator–Basis
Für das Beispiel der exemplarisch gewählten quadratischen Funktionsbasis
F =
T (1)
ij
(2)
, T ij = sij, (sikw ∗ kj − w ∗ ikskj)
(6.8)
vereinfachen sich die in Gleichung (6.5) auftretenden Spuren für inkompressible Strömungen
durch Anwendung des in Anhang C skizzierten Caley–Hamilton Theorems. Hiermit
erhält man schließlich anstelle von (6.5)
β1
η1 [gη1 − 2β3η3] [2β2 (3η5 − 0.5η1η2)]
=
0 [2β2 (0.5η1η2 − 3η5)] [g (η1η2 − 6η5) + β3 (η2η3 + η1η4)]
Gleichung (6.9) läßt sich mit Hilfe der Cramerschen Regel direkt auflösen
A =
B =
A
B
η1β1[g(η1η2 − 6η5) + β3(η2η3 + η1η4)]
[β3(η2η3 + η1η4) + g(η1η2 − 6η5)][gη1 − 2β3η3] + 4β2 ,
2[3η5 − 0.5η1η2] 2
η1β1β2(6η5 − η1η2)
[β3(η2η3 + η1η4) + g(η1η2 − 6η5)][gη1 − 2β3η3] + 4β 2 2[3η5 − 0.5η1η2] 2
. (6.9)
.(6.10)
Man erkennt deutlich, daß im Zusammenhang mit der Projektion des ASM in eine
einfache quadratische Basis mit Ausnahme von η6 bereits alle irreduziblen Invarianten
auftreten.
Vereinfacht man die Beziehung (6.10) für zweidimensionale und achsensymmetrische
Scherströmungen, dann ergibt sich mit Hilfe der näherungsweise gültigen Beziehungen
− η1 = η2 , η5 = 0.5 η1η2 , η3 = −1.5 S33 η1 , η4 = −0.5 S33 η2 ,
die Lösung
Aachs = −cµ =
g − 2 β3
β1
η3
η1
− 2 β2 2 η2
g−β3 2 η 3
3 η 1
−β2
, Bachs = Aachs ⎣
g − β3
Im Falle zweidimensionaler mittlerer Strömungszustände folgt aus (3.54)
A2D =
β1
g − 2β 2 2 η2/g , B2D =
104
β1β2
−2g 2 + 4β 2 2η2
= A2D
⎡
−β2
g
2 η3
3 η1
⎤
⎦ (6.11) .
. (6.12)