Kapitel

KAPITEL
ˆsij =
⎛
⎝
1 0 0
0
0 − 1+â
2
0 0 − 1−â
2
⎞
⎠ ˆs11 . (3.24)
Hierin kennzeichnet ˆs11 die dimensionslose Primärdistorsionsgeschwindigkeit im Hauptachsensystem
und â einen Parameter zur Beschreibung der Abweichung vom zweidimensionalen
Distorsionszustand. Die folgenden Untersuchungen konzentrieren sich auf
die drei relevanten Grenzfälle des transformierten Scherratentensors (3.24) (vgl. Abbildung
3.2):
• zweidimensionale Distorsion: â 2 = 1 und ˆs11 > 0 ,
• achsensymmetrische Kontraktion: â = 0 und ˆs11 > 0 ,
• achsensymmetrische Expansion: â = 0 und ˆs11 < 0 .
X 2
X 1
X 2 X 1
Abbildung 3.2: Veranschaulichung der zweidimensionalen Distorsion (links) und achsensymmetrischen
Kontraktion (rechts).
Durch den linearen Zusammenhang zwischen sαβ und bαβ müssen die Eigenrichtungen
der beiden Tensoren übereinstimmen. Die Gestalt des Spannungsanisotropietensors
ändert sich daher beim Übergang in das Hauptachsensystem von sij in ähnlicher Weise
wie die des dimensionslosen spurfreien Scherratentensors. Notiert man die Reynolds-
Spannungen mit Hilfe des linearen Wirbelzähigkeitsprinzips (7.20) für das Hauptachsensystem,
so ergeben sich lediglich für die Normalspannungskomponenten von Null
verschiedene Werte. Hieraus folgt eine zentrale Eigenschaft linearer EVM:
Die Schwartzsche Ungleichung (3.14) ist für lineare Wirbelzähigkeitsmodelle durch
die Gewährleistung positiver Normalspannungsanteile (3.13) automatisch befriedigt.
Die weitere Analyse konzentriert sich daher auf die Normalspannugsforderung (3.13).
Für den Spannungsanisotropietensor erhält man nach Transformation in das Hauptachsensystem
von (3.13) unmittelbar 2/3 ≥ bαα ≥ −1/3 , und daher
1
3 ≥ −IIb ≥ 0 bzw.
68
2
27 ≥ IIIb ≥ − 1
108
X 3
. (3.25)