Kapitel

6.2 Gatski & Speziale Modell
6.2. GATSKI & SPEZIALE MODELL
Das von Gatski und Speziale (1993) vorgestellte Modell basiert auf der dreidimensionalen
Generalisierung eines in zweidimensionalen, inkompressiblen Strömungszuständen
exakten quadratischen Ansatzes
bij = A T (1)
ij
+ B T (2)
ij
+ C T (3)
ij , mit
T (1)
ij = sij , T (2)
ij = sikw ∗ kj − w ∗ ikskj , T (3)
ij = s2 ij − 1
3 δij s 2 kk . (6.13)
Die zusätzlichen Spuren der um die entsprechenden T (3)
ij –Anteile erweiterten Gleichung
(6.5) lassen sich wiederum mit Hilfe des Caley–Hamilton Theorems vereinfachen. Unter
Verwendung der in Anhang C notierten algebraischen Umformungen ergibt sich die zu
(6.5) analoge symbolische Beziehung
β1
⎛
⎝
in der die Systemmatrix M durch
⎛
⎝
η1
0
η3
⎞
⎛
⎠ = M · ⎝
A
B
C
⎞
⎠ , (6.14)
[gη1 − 2β3η3] [2β2 (3η5 − 0.5η1η2)]
gη3 − 1
3β3η 2
1
[−2β2 (3η5 − 0.5η1η2)] [g (η1η2 − 6η5) + β3 (η2η3 + η1η4)] [−β2 (η1η4
+ η2η3)]
gη3 − 1
3β3η 2
g
1
[β2 (η1η4 + η2η3)]
6η2 1 − 1
3β3η1η3
definiert ist. Gleichung (6.14) läßt sich wieder mit Hilfe der Cramerschen Regel auflösen
A = (β1η1) M22M33 + M 2 32
− (β1η3) (M12M32 − M13M22) det M −1
⎞
⎠
(6.15)
, (6.16)
B = [ (β1η1) (M12M33 − M32M13) + (β1η3) (M11M32 − M13M12)] det M −1 ,
C = −(β1η1) (M12M32 + M22M13) + (β1η3) M11M22 + M 2 −1 12 det M .
Im Falle einer lokal zweidimensionalen Reynolds–gemittelten Strömung findet man die
entsprechend vereinfachte Beziehung (6.14)
β1
⎛
⎝
η1
0
0
⎞
⎛
gη1 2β2η1η2 − 1
3 β3η 2 1
⎠ = ⎝ −2β2η1η2 −2gη1η2
0
0
− 1
3 β3η 2 1
g
6 η2 1
⎞ ⎛
⎠ ⎝
A
B
C
⎞
⎠ , (6.17)
deren Lösung die bereits von Gatski und Speziale (1993) angegebenen Koeffizienten
des Drei–Generator–Ansatzes FGS liefert
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