Kapitel

KAPITEL
überführen. Zweigleichungsmodelle unterscheidet man nach dem Typ der gewählten
abhängigen Turbulenzvariabeln. Die am weitesten verbreitete Formulierung basiert auf
modellierten Transportgleichungen für die Turbulenzenergie k und die Dissipations–
bzw. Transferrate ε (k−ε Modell). Alle weiteren in der Literatur verfügbaren Formulierungen
sind weitestgehend äquivalent und lassen sich prinzipiel ineinander überführen.
Ein natürliches turbulentes Geschwindigkeitsmaß ist die Wurzel der turbulenten kinetischen
Energie √ k. Zur Schließung der Turbulenzenergiegleichung (1.64) werden die
diffusiven Beiträge nach dem Gradienten–Diffusionsmodell modelliert
− ukuiϕ − 1
ρ pϕ δik = 1) k
Cφ
ε ukul
∂ uiϕ
=
∂xl
2) C ∗ k
φ
2
ε δkl
∂ uiϕ
=
∂xl
νt
∂ uiϕ
.
P rφ ∂xk
(2.16)
Der Druckdiffusionsbeitrag ist in der Regel von untergeordneter Bedeutung. Die Symmetrieeigenschaften
der verbleibenden Trippelkorrelation werden vom Gradienten–Diffusionsmodell
gebrochen, was jedoch aufgrund der untergeordneten Bedeutung der Diffusionsterme
in der Regel akzeptiert wird. Die algorithmische Struktur der meisten
numerischen Verfahren basiert auf isotropen Diffusionsprozessen, weswegen sich die
Anwendung des zweiten, isotropisierenden Modellierungschrittes empfiehlt. Unter Vernachlässigung
von Volumenkraftdichten ergibt sich für inkompressible Medien die modellierte
Turbulenzenergiegleichung
Dk
∂
= P − ε + ν +
Dt ∂xk
νt
∂k
, mit P rk = O(1) . (2.17)
P rk ∂xk
2.3.1 k − ε Modell
Die Schließung der modellierten Turbulenzenergiegleichung (2.17) bedarf einer Vorschrift
zur Berechnung der isotropen Dissipationsrate ε. Die in Gleichung (1.66) notierte
exakte Transportgleichung der Dissipationsrate enthält eine Vielzahl ungeschlossener
Beiträge und ist in ihren Details inakzeptabel komplex. Daneben kommt der modellierten
Dissipationsrate nach Gleichung (1.74) eine andere physikalische Bedeutung
als der ursprünglichen Dissipationsrate zu. Die Modellierung der Energietransferbilanz
geht auf Jones und Launder (1972) zurück und lehnt sich eng an die Modellgleichung
der Turbulenzenergie (2.17) an
Dε
Dt
= ε
k
Cε1P − Cε2 ε
+ ∂
ν +
∂xk
νt
∂ε
P rε ∂xk
. (2.18)
Die Basisgleichung (2.18) gilt ausdrücklich nur für voll–turbulente (sog. high–Reynolds
number) Bereiche in hinreichender Entfernung fester Berandungen. Im Wandbereich
sollte die Transferrate mit der isotropen Dissipationsrate übereinstimmen, wozu –wie
in Anhang D skizziert– eine Manipulation ihrer Transportgleichung notwendig ist. Die
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