Kapitel

KAPITEL
D) Linearisierter Ansatz
Für den Ansatz bij = bij(sij) liefert die Darstellungstheorie unter Verwendung der
Kontraktionsbedingung bii = 0 unmittelbar
bij = −cµ sij + β(s 2 ij − 1/3 δijs 2 kk)
mit cµ, β = f(η1, η3) . (3.61)
Aufgrund der mangelhaften Relevanzliste bleiben Krümmungsmechanismen, die formal
von den Invarianten des Wirbeltensors getragen werden, hierin unberücksichtigt.
Linearisierung
Aus dem Blickwinkel der Darstellungstheorie sind die linearen Wirbelzähigkeitsansätze
vierfach unterbestimmt. Sie können prinzipiell nur eine der im allgemeinen fünf Komponenten
des Anisotropietensors zufriedenstellend modellieren. Im Zusammenhang mit
ingenieurtechnischen Anwendungen ist die Modellierung der dominanten Reynoldsschen
Schubspannung das primäre Ziel. Das lineare Wirbelzähigkeitsprinzip sollte hierzu
nicht aus der Form bij(sij) entwickelt, sondern durch den führenden Term einer
weitergehenden Modellbildung bij(sij, wij, εij, . . . ) approximiert werden. Die Qualität
der Modellbildung läßt sich im Rahmen der o.g. Einschränkungen durch die möglichst
umfangreiche Berücksichtigung aller Invarianten des linearen Koeffizienten gezielt verbessern.
Ein populärer Sonderfall, welcher durch den linearen Ansatz exakt beschrieben wird,
ist die achsensymmetrische Turbulenz. Diese ist nach dem isotropen Zustand der zweite
strukturell einfache Grenzfall von Interesse. Die Voraussetzungen für achsensymmetrische
Turbulenz sind weniger restriktiv als für isotrope Turbulenz. Aufgrund der
strukturellen Übereinstimmung zwischen bij und sij wird der achsensymmetrische Turbulenzzustand
durch das lineare Wirbelzähigkeitsgesetz exakt beschrieben. Sowohl der
Anisotropietensor der Reynolds-Spannungen bij als auch der Scherraten–Tensor sij lassen
sich durch denselben achsensymmetrischen Tensor zweiter Stufe beschreiben, welcher
im Hauptachsensystem die folgende Darstellung besitzt (Rotta 1972)
ˆsij = − (3δi1δ1j − δij) 1
2 ˆs11 ,
ˆ bij = (3δi1δ1j − δij) A . (3.62)
Hierin kennzeichnet ˆs11 die dimensionslose Primärdistorsionsgeschwindigkeit in Richtung
der Symmetrieachse. Aus Gleichung (3.62) läßt sich auch ohne explizite Kenntnis
des Hauptachsensystems eine zunächst implizite Wirbelzähigkeitsbeziehung formulieren
η1 = sijsjk δik = 3
2 ˆs2 11
II ∗ b = bijbjk δik = −2IIb = 6 A 2
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δi1δ1j − 1
3 δij
= − √ 6
√ η1
ˆsij ,
ˆbij = − (II ∗ b /η1) ˆsij . (3.63)