Kapitel

3.2. REALISIERBARKEIT
repräsentiert werden. Diese Aussage trifft prinzipiell auf die Korrelationsmatrix zweier
beliebiger fluktuierender physikalischer Größen ˜ Γ und ˜ φ zu:
⎛
γ
A = ⎝
2 γϕ
γϕ ϕ2 ⎞
⎠ . (3.15)
Ein symmetrisch positiv semi-definiter Tensor besitzt die Eigenschaft, daß seine Determinante
und seine (stets reelen) Eigenwerte nie negativ werden können:
det(A) ≥ 0 ❀ γ 2 ϕ 2 − (ϕγ) 2 ≥ 0 . (3.16)
Physikalisch läßt sich die Schwartzsche Ungleichung dadurch erklären, daß zwei unterschiedliche,
statistisch fluktuierende Größen ϕ und γ in ihrem Verhalten vollkommen
korreliert sind, wenn sie sich statistisch gleich verhalten. Die Entwicklung der beiden
Größen ließe sich in diesem Falle, in dem das zweite statistische Moment der beiden
Größen maximal wäre, beispielsweise durch dieselbe Fourierreihe darstellen, z.B.
ϕ = ∞
n=0 αc cos (nπt) + αs sin (nπt) ,
γ = ζ ∞
n=0 αc cos (nπt) + αs sin (nπt) ,
❀ (ϕγ) 2 = (ϕϕ) (γγ) . (3.17)
Eine allgemeinere Formulierung der Schwartzschen Ungleichung, welche die Korrelation
zwischen einem Skalar und einem Vektor beschreibt, ergibt sich aus:
ϕiϕj γ2
− (ϕiγ) (ϕjγ) ≥ 0 . (3.18)
Insbesondere leitet man von (3.18) exemplarisch folgende, häufig verwendete Aussagen
ab:
uv θ 2 − uθ vθ ≥ 0 ,
u2 θ2 − uθ 2 ≥ 0 ,
v2 u2 2 − uv ≥ 0 ,
w2
uv − uw vw ≥ 0 . (3.19)
Ein strengeres Realisierbarkeitskriterium fokussiert die untere Schranke der Beziehungen
(3.13, 3.14), bei denen die Terme der linken Seiten den Nullzustand erreichen. Um
sich von diesem Zustand in pyhysikalisch realisierbarer Weise zu erholen, muß die erste
Zeitableitung der linken Seite verschwinden, und die erste von Null verschiedene höhere
Zeitableitung positiv sein.
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