Kapitel

3.2. REALISIERBARKEIT
Um auch im Grenzübergang η1 → ∞ realisierbare Invariantenwerte gewährleisten zu
können fordert man c 2 µ ∼ η −1
1
cµ =
1
√
A0 + A1 η1
mit A1(η1, η3) . (3.26)
Der Koeffizient A0 verhindert singuläre cµ-Werte für scherfreie Turbulenz. die Zwangsbedingungen
für A1 lassen sich aus der Untersuchung der Beziehung (3.26) für verschiedene
rotationsfreie Distorsionszustände herleiten.
Achsensymmetrische Turbulenz
Ungeachtet seiner eingeschränkten praktischen Relevanz, ist der achsensymmetrische
Turbulenzzustand aufgrund des damit verbundenen einfachen Stress–Strain Zusammenhangs
von großem Interesse für die Modellbildung (Rotta 1972)
bij = α (3 δi1δ1j − δij) , (3.27)
sij = −0.5 s11 (3 δi1δ1j − δij) . (3.28)
Der achsensymmetrische Anisotropietensor (3.27) verfügt über lediglich eine linear unabhängige
Koordinate. Der lineare Wirbelzähigkeitsansatz ist deshalb darstellungstheoretisch
vollständig und befriedigt wegen
η1 = 1.5 ˜s 2 11, η3 = 0.75 ˜s 3 11 , (3.29)
– ungeachtet der Wahl des Ansitropieparameters cµ – die den achsensymmetrischen
Zustand kennzeichnende Identität
2 3 IIIb IIb
+ ≡ 0 . (3.30)
2 3
Eine eingehendere Diskussion der darstellungstheoretischen Aspekte erfolgt in Kapitel
3.3. Im weiteren beschränkt man sich daher auf die Realisierbarkeit der zweiten
Invariante IIb im Grenzübergang unendlich großer Scheraten (rapid–distortion limit)
η1 → ∞
lim
η1→∞ IIb = − 1
2 A2 1
. (3.31)
Wie in Abbildung 3.1 dargestellt, besteht der primäre Unterschied zwischen den beiden
möglichen achsenssymmetrischen Zuständen (achsensymmetrische Kontraktion (AC)
und achsensymmetrische Expansion (AE)) im Vorzeichen der dritten Invariante IIIb
und bzw. der analogen Scherrateninvariante η3 (vgl. Gleichung 3.20). Im Grenzübergang
extremer Kontraktion (˜s11 > 0) strebt die Turbulenz einem Zweikomponentenzustand,
z.B. u 2 2 = u 2 3 = k, zu.
lim
η1→∞ IIAC b = − 1
12
69
oder (A 2 1) AC = 6 . (3.32)