Kapitel

KAPITEL
Der kugelsymmetrische erste Summand erleichtert die Formulierung einer homogenen
Kontraktionsrestriktion (bkk = 0), das Vorzeichen des zweiten Summanden fußt auf
Kontinuitätsüberlegungen von Prandtl (1925) für das oben angesprochene Beispiel einer
ebenen Scherströmung (uv ∼ −U,y ). Die vorstehend zitierten Kontraktions– und
Symmetriebedingungen ergeben
νijkl = νjikl und νiikl = 0 .
Aus dem Blickwinkel des Scherraten–Tensors ist eine zusätzliche Symmetrie des Wirbelzähigkeitstensors
νijkl in Bezug auf die hinteren beiden Indizes einleuchtend, da Skl
und Slk letztlich denselben Beitrag zu uiuj leisten sollten
uiuj = 2
3 δij k − νijkl Skl , (2.11)
νijkl = νjikl , νiikl = 0 , νijkl = νijlk .
Die doppelte Überschiebung von symmetrischen und antimetrischen Indizes bleibt wirkungslos.
Der antimetrische Wirbeltensor muß daher in Gleichung (2.11) nicht mehr
mitgeführt werden, was die o.g. Aussagen zur Vernachlässigbarkeit eines expliziten
Wij–Beitrags bestätigt. Nichtsdestoweniger können die Koordinaten des Wirbeltensors
zur Definition der Koordinaten des Wirbelzähigkeitstensors beitragen.
Schwach anisotrope Modellierung
Im Rahmen der zweiten Möglichkeit wird die Wirbelzähigkeit durch einen Tensor zweiter
Stufe beschrieben
uiuj = 2
3 δijk − νik (Skj + Wkj) . (2.12)
Anhand der Kontraktionsbedingung erkennt man unmittelbar die Defizite des Ansatzes
0 = νik (Ski + Wki) .
Da die Geschwindigkeitsgradienten i. Allg. linear unabhängig sind, degeneriert der Wirbelzähigkeitstensor
zweiter Stufe bei Beachtung der Kontraktionsbedingung zu einem
Nulltensor.
Isotrope Modellierung
Die anisotrope Wirbelzähigkeit νijkl wird im Rahmen linearer Wirbelzähigkeitsmodelle
(EVM) einer Isotropiehypothese unterworfen. Mit Hilfe der allgemeinen Darstellung
eines isotropen Tensors vierter Stufe findet man anstelle von (2.10)
ν EVM
ijkl := Aδijδkl + Bδikδjl + Cδilδjk ,
❀ uiuj = 2
3 δij k − [ AδijSkk + (B + C)Sij + (B − C)Wij ] . (2.13)
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