Kapitel

KAPITEL
ergibt. Hierin sind der um die Zentrifugalbeschleunigungen erweiterte Druck durch
P ∗ = P − 0.5ρ (xmxm)(ΩkΩk) + 0.5ρ (Ωmxm)(Ωkxk) , (1.9)
und die um die Coriolisbeschleunigung ergänzte Volumenkraftdichte durch
f ∗ i = fi − 2ρ eijk ΩjUk (1.10)
erklärt. Der in (1.10) auftretende Permutationstensor eijk folgt der Definition
⎧
⎪⎨ 1 für ijk = 123, 231, 312 ,
eijk = −1
⎪⎩
0
für ijk = 213, 132, 321 ,
sonst .
(1.11)
Druckpoissongleichung
Für die statistische Turbulenzmodellierung spielt die Poissongleichung des Drucks in
inkompressiblen Medien eine zentrale Rolle. Diese gewinnt man mit Hilfe der Kontinuitätsaussage
∇ · U = 0 aus der Divergenz von Gleichung (1.8)
1
ρ
∂ 2 P ∗
∂xi∂xi
∂Uk ∂Ui
= −
∂xi ∂xk
+ 2eijkΩj
∂Uk
∂xi
+ 1
ρ
∂fi
∂xi
, (1.12)
wobei der Reibungsspannungstensor dem in Abschnitt 1.2 notierten Materialgesetz
(1.32) folgt.
Wirbeltransportgleichung
Die Transportgleichung des Wirbelvektors ωi = eijk ∂Uk repräsentiert ein weiteres,
∂xj
geeignetes Instrument zur Analyse turbulenter Strömungen
D ωi D ∂Uk ∂ ∂ ∂Uk
= eijk = + Um eijk
Dt Dt ∂xj ∂t ∂xm ∂xj
∂ DUk ∂Uk ∂Um
= eijk
− eijk . (1.13)
∂xj Dt ∂xm ∂xj
Für inkompressible Medien erhält man mit Hilfe des in Abschnitt 1.2 notierten Materialgesetzes
(1.32) für den ersten Term der rechten Seite von Gleichung (1.13)
∂ DUk
(...)eijk
=
∂xj Dt
eijk
2 ∂ τkm
+
ρ ∂xm ∂xj
∂ fk
+ d
∂xj
eijk ∂ fk
(1.14) .
ρ ∂xj
= (1.32) ν ∂2 ωi
∂x 2 m
Bei Verwendung statistischer Turbulenzmodelle ergibt sich im Volumenkraftdichtefreien
Fall fk = (ukum),m. Der zweite Summand der rechten Seite von Gleichung (1.13)
läßt sich für inkompressible Strömungen, wegen m = i, wie folgt vereinfachen
eijk
∂Uk
∂xm
∂Um
∂xj
= emjk
∂Uk
∂xm
∂Ui
∂xj
10
= −ejmk
∂Uk
∂xm
∂Ui
∂xj
= −ωj
∂Ui
∂xj
,