Differentialgleichungen I: Existenz und Eindeutigkeit - JavaPsi

2 DER SATZ VON PICARD-LINDELÖF 10
Wir sind fertig, wenn wir a) zeigen können, dass die so definierte Funktionenfolge
(λi(t))i∈N gegen eine stetige Grenzfunktion λ(t) konvergiert
(die K n r (x0) nicht verlässt) und dass b) in Gleichung (10) für die Grenzfunktion
λ(t) Integration und Grenzwertbildung vertauschbar sind, denn
dann gilt
lim
i→∞ λi+1(t)
=:λ(t)
Z t
Z t
= x0 + lim f (s,λi(s))ds = x0 +
i→∞ t0
t0
lim f (s,λi(s)) ds,
i→∞
f (s,λ(s))
d.h. die Integralgleichung (9) ist erfüllt, was äquivalent dazu ist, dass
λ(t) das AWP (7) löst. Die Vertauschbarkeit von Integration und Grenzwertbildung
in b) ist erlaubt, wenn die Funktionenfolge ( f (λi(t)))i∈N
gleichmäßig konvergiert. 1 Aus der globalen Lipschitz-Stetigkeit folgt,
dass ( f (λi(t)))i∈N gleichmäßig konvergiert, falls (λi(t))i∈N gleichmäßig
konvergiert.
Wir betrachten also die Funktionenfolge (λi(t)) der Picard-Iterierten
und zeigen, dass diese gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion
λ(t) konvergiert. Dann sind wir fertig!
2.1.2 Schritt 2: Die Funktionenfolge der Picard-Iterierten bleibt im
Definitionsbereich von f
Die Funktionenfolge (λi(t))i∈N der Picard-Iterierten ist für alle t ∈ Iα(t0)
durch (10) iterativ definiert. Da in jeder Iteration f auf Punkte (s,λi(s))
bzw. (t,λi(t)) angewendet wird, müssen wir zuerst zeigen, dass (t,λi(t))
für alle t ∈ Iα(t0) stets im Definitionsbereich Z n a,r(t0,x0) von f liegt. Da
t ∈ Iα(t0) = [t0 − α,t0 + α] ⊆ [t0 − a,t0 + a], genügt es zu zeigen, dass
für alle t ∈ Iα(t0) die Picard-Iterierte (λi(t))i∈N die Kugel K n r (x0) nicht
verlässt, d.h. dass für alle i ∈ N
λi(t) ∈ K n r (x0) für |t −t0| ≤ α ≤ a (11)
gilt.
Sei im Folgenden t ∈ Iα(t0) beliebig (d.h. |t −t0| ≤ α ≤ a). Wegen
λ0(t) = x0 ist offensichtlich λ0(t) ∈ K n r (x0) (Induktionsanfang). Gelte
λi(t) ∈ K n r (x0) für ein beliebiges i ∈ N (Induktionsvoraussetzung). Dann
gen.
1 Siehe Analysis I, Kapitel über Differentiation und Integration von Funktionenfol-
Version: 25. April 2007 Marcel Schmittfull, Dmitrij Sauermilch: Proseminar Analysis I am 17. April 2007