Differentialgleichungen I: Existenz und Eindeutigkeit - JavaPsi

1 EINFÜHRUNG 4
Eine Funktion λ(t) : I → R n ist also genau dann Lösung des AWPs aus
Schritt 1, wenn sie die Integralgleichung (2) für alle t ∈ I erfüllt und den
Definitionsbereich von f nicht verlässt.
Schritt 3: Ausgehend von der Integralgleichung (2) definieren wir induktiv
die Picard-Iterierten
λ0(t) := x0
λi+1(t) := x0 +
Z t
t0
f (s,λi(s))ds, i ∈ N,
also eine Funktionenfolge (λi(t))i∈N. Unter bestimmten Voraussetzungen
(siehe Satz von Picard-Lindelöf) können wir ihre gleichmäßige Konvergenz
für i → ∞ gegen eine Grenzfunktion λ(t) beweisen und zeigen,
dass diese Grenzfunktion λ(t) die Lösung der Integralgleichung und somit
die Lösung der DGL bzw. des AWPs ist
lim
i→∞ λi(t) =: λ(t) = x0 +
Z t
t0
f (s,λ(s))ds.
1.3 Beispiele von AWPs und deren Lösung durch Picard-
Iterierte
Beispiel 1
Nun wollen wir an einem (einfachen) Beispiel anschaulich zeigen wie
man durch Bildung der Picard-Iterierten die Lösung eines AWP approximieren
kann. Als Beispiel diene das AWP
Die i-te Picard-Iterierte lautet dann
˙x = f (t,x) = 3t 2 , x(t0) = x0. (3)
λi(t) = x0 +
= x0 +
Z t
t0
Z t
t0
= x0 +t 3 −t 3 0
f (s,λi−1(s))ds
3s 2 ds = x0 + s 3t
t0
=: λ(t).
Die Folge der Picard-Iterierten (λi(t))i∈N = (λ(t))i∈N ist also eine konstante
Funktionenfolge. λ(t) ist als Grenzwert dieser konstanten Funktionenfolge
die Lösungsfunktion des AWP (3), wie man durch Ableiten
leicht nachprüft.
Version: 25. April 2007 Marcel Schmittfull, Dmitrij Sauermilch: Proseminar Analysis I am 17. April 2007