Differentialgleichungen I: Existenz und Eindeutigkeit - JavaPsi

1 EINFÜHRUNG 5
In diesem Fall ist es selbstverständlich, dass die Folge der Picard-
Iterierten konvergiert und die Grenzfunktion das AWP löst, da sie die Integralgleichung
löst. Im allgemeinen Fall ist jedoch die Konvergenz der
Folge der Picard-Iterierten gegen eine Lösung nur unter bestimmten Voraussetzungen
an f gegeben, die im Satz von Picard-Lindelöf im nächsten
Abschnitt beschrieben werden. Zunächst folgen noch zwei Beispiele.
Beispiel 2
Ein ähnliches Beispiel ist das AWP
Hier folgt für die i-te Picard-Iterierte
8
7
6
5
˙x = f (t,x) = ln(t), x(t0) = x0. (4)
5+t*log(t)-2*log(2)-t+2
Lösung für t0=2, x0=5
0 2 4
Abbildung 1: Lösung λ(t) des AWP (4) aus Beispiel 2 für t0 = 2, x0 = 5.
Z t
λi(t) = x0 +
t0
Z t
= x0 +
t0
f (s,λi−1(s))ds
lns ds
Z t
= x0 + [slns] t t0 − s ·
t0
1
s ds
= x0 +t lnt −t0 lnt0 −t +t0 =: λ(t).
Version: 25. April 2007 Marcel Schmittfull, Dmitrij Sauermilch: Proseminar Analysis I am 17. April 2007