Differentialgleichungen I: Existenz und Eindeutigkeit - JavaPsi

2 DER SATZ VON PICARD-LINDELÖF 16
Z 1 2,5 (0,0) := [−2, 2] × [−5, 5]
I2(0) K1 5 (0)
.
f ist offenbar stetig. Zudem genügt f einer globalen Lipschitz-Bedingung:
Seien (t,x), (t,y) ∈ Z 1 2,5 (0,0), d.h. t ∈ I2(0) und x,y ∈ K 1 5 (0). Dann gilt
|x| ≤ 5, |y| ≤ 5 und daher
| f (t,x) − f (t,y)| = x 2 −t − y 2 +t = |(x + y)(x − y)| = |x + y||x − y|
≤ (|x| + |y|) · |x − y| ≤ (5 + 5) · |x − y| = 10 · |x − y|,
d.h. f ist Lipschitz-stetig mit der Lipschitz-Konstanten L = 10. Also besitzt
das AWP (19) eine eindeutige Lösung λ(t), deren Definitionsintervall
[−α,α] es noch zu bestimmen gilt. Der Wert von | f (t,x)| = x 2 −t
ist im Punkt (−2, 5) maximal (minimales t, maximales x 2 ), d.h.
Also gilt
M = max
(t,x)∈Z | f (t,x)| = f (−2, 5) = 52 − (−2) = 27.
α = min a, r
M
= min 2, 5
27
= 5
27
d.h. die Lösung λ(t) ist auf dem Intervall [−5/27, 5/27] definiert. Bildet
man die Folge der Picard-Iterierten, so konvergiert diese auf dem Intervall
[−5/27, 5/27] gegen die Lösung des AWP (vgl. Abbildung).
x(t)
4
2
0
–2
–4
–2 –1 0 1 2
Abbildung 3: Vereinfachte Riccati-DGL (19) mit Anfangsbedingungen x(0) ∈
{3,2,1,0,−1,−2,−3}.
t
Version: 25. April 2007 Marcel Schmittfull, Dmitrij Sauermilch: Proseminar Analysis I am 17. April 2007