Differentialgleichungen I: Existenz und Eindeutigkeit - JavaPsi

1 EINFÜHRUNG 6
Die Folge der Picard-Iterierten (λi(t))i∈N = (λ(t))i∈N ist also wieder eine
konstante Funktionenfolge. λ(t) ist als Grenzwert dieser konstanten
Funktionenfolge die Lösungsfunktion des AWP (4).
Wir sehen also: Wenn f nur von t abhängt, ist die Folge der Picard-
Iterierten eine konstante Funktionenfolge, die gegen die Lösung kon-
”
vergiert“. Der Grund dafür ist, dass wir durch Berechnung der Picard-
Iterierten eigentlich direkt die Integralgleichung der jeweiligen DGL gelöst
haben, denn
Z t
f (t,λi(t)) = f (t,λi−1(t)) ⇒ x0 +
Beispiel 3
t0
f (s,λi(s))ds
λi+1(t)
Z t
= x0 +
f (s,λi−1(s))ds .
t0
λi(t)
Nun ein Beispiel, in dem f von x abhängt und daher die Folge der Picard-
Iterierten nicht konstant ist. Für α ∈ R betrachten wir das AWP
Für die Picard-Iterierten gilt dann:
λ0(t) = x0
λ1(t) = x0 +
˙x = f (t,x) = αx, x(t0) = x0. (5)
Z t
t0
Z t
αx0 ds = x0 + αx0
Z t
λ2(t) = x0 + α · x0(1 + α(s −t0)) ds
t0
= x0 + αx0 s + α
2 (s −t0) 2 t
= x0 + αx0(t −t0) + α2x0 2
(t −t0)
2
1 + α(t −t0) + α2 (t −t0) 2
= x0
λ3(t) = ··· = x0
.
λi(t) = x0 ·
i
∑
j=0
1 + α(t −t0) + α2 (t −t0) 2
α j (t −t0) j
.
j!
2
t0
t0
ds = x0 (1 + α(t −t0))
2
+ α3 (t −t0) 3
2 · 3
Version: 25. April 2007 Marcel Schmittfull, Dmitrij Sauermilch: Proseminar Analysis I am 17. April 2007