Differentialgleichungen I: Existenz und Eindeutigkeit - JavaPsi

2 DER SATZ VON PICARD-LINDELÖF 8
Nach diesen einführenden Beispielen und Definitionen kommen wir
nun zu einem wichtigen Satz über die Existenz und Eindeutigkeit einer
Lösung eines gegebenen AWPs.
2 Der Satz von Picard-Lindelöf
Gegeben sei ein Anfangswertproblem (AWP) der Form
˙x(t) = f (t,x) ,
x(t0) = x0,
(t0 ∈ R, x0 ∈ R
DGL
An f angswert
n ), (7)
wobei f eine stetige Funktion f : Z n a,r(t0,x0) → R n ist mit dem Definitionsbereich
Z n a,r(t0,x0) := {(t,x) ∈ R×R n : |t −t0| ≤ a, x − x0 ≤ r} = Ia(t0)×K n r (x0),
wobei Ia := {t ∈ R : |t −t0| ≤ a} = [t0 − a,t0 + a] das Intervall um t0 der
Breite 2a ist, und K n r (x0) := {x(t) ∈ R n : x(t) − x0 ≤ r}. Zudem habe
die Funktion f die Eigenschaft, dass es eine Konstante L > 0 gibt mit
f (t,x) − f (t,y) ≤ Lx − y für alle (t,x),(t,y) ∈ Z n a,r(t0,x0). (8)
Dann existiert eine eindeutige Lösung λ(t) ∈ C 1 ([t0 − α,t0 + α],R n )
des AWP (7) auf dem Existenzintervall Iα(t0) = [t0 − α,t0 + α], wobei
α := min a, r
, M := max{ f (t,x) : (t,x) ∈ Z
M
n a,r(t0,x0)}.
Im Fall M = 0 ist dabei r/M = ∞ zu setzen.
Bemerkungen:
1. In Gleichung (7) ist x(t) eine Funktion x : R → R n , d.h. x ordnet
einer reellen Zahl t einen Vektor des R n zu. Schreibt man x(t)
in Komponenten x1(t),x2(t),...,xn(t), so wird aus (7) ein System
von n DGLs erster Ordnung. Dies entspricht einer DGL n-ter Ordnung
(vgl. Thema 3).
2. Im Falle der euklidischen Norm · 2 hat der Definitionsbereich
Z n a,r(t0,x0) von f die Form eines n-dimensionalen Zylinders der
Höhe 2a und der n-dimensionalen ” Grundkugel“ K n r (x0) mit Radius
r und Mittelpunkt x0.
Version: 25. April 2007 Marcel Schmittfull, Dmitrij Sauermilch: Proseminar Analysis I am 17. April 2007