Differentialgleichungen I: Existenz und Eindeutigkeit - JavaPsi

2 DER SATZ VON PICARD-LINDELÖF 11
folgt für i + 1 (Induktionsschluss)
λi+1(t) − x0
(10)
=
Def. M
≤
Z t
t0
Z t
t0
(12) Z
t
f (s,λi(s))ds
≤
f (s,λi(s))ds
t0
Def. α
Mds
= M |t −t0| ≤ Mα ≤ r,
≤α
d.h. λi+1(t) ∈ K n r (x0). Also verlässt die Funktionenfolge (λi(t))i∈N die
Kugel nicht. Somit liegt der Punkt (t,λi(t)) für alle t ∈ Iα(t0) in Z n a,r(t0,x0),
dem Definitionsbereich von f .
Im Induktionsschluss wurde verwendet, dass die Norm über ein Integral
kleiner-gleich dem Integral über die Norm ist:
Z
b
g(s)ds
≤
Z b
g(s)ds für a ≤ b, g : R → R n . (12)
a
a
Dies folgt unmittelbar aus der analogen Abschätzung für Beträge in R,
wenn man als Norm die Maximumsnorm · ∞ verwendet. Für a > b
muss man auf der rechten Seite den Betrag des Integrals bilden, damit
die Abschätzung richtig bleibt.
2.1.3 Schritt 3: Gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge gegen
eine Grenzfunktion λ(t)
Nun zeigen wir, dass die Funktionenfolge (λi(t))i∈N auf dem Intervall
Iα(t0) gleichmäßig konvergiert. Sei also im Folgenden wieder t ∈ Iα(t0)
beliebig. Zunächst schreiben wir λi(t) als i-te Partialsumme einer unendlichen
Funktionenreihe x0 +∑gk(t):
λi(t) = [λ0 + (λ1 − λ0) +(λ2 − λ1) +··· + (λi − λi−1) ](t)
g1
g2
gi
= x0 +
i
∑
k=1
(λk(t) − λk−1(t)) =: x0 +
i
∑
k=1
gk(t) (13)
Dann erinnern wir uns an den Weierstraß-Test aus Analysis I: Wenn jeder
Summand gk(t) einer Funktionenreihe Σgk(t) betragsmäßig 2 kleinergleich
seinem entsprechenden Summanden mk einer konvergenten Reihe
2 Der Test funktioniert auch mit der Norm an Stelle des Betrags.
Version: 25. April 2007 Marcel Schmittfull, Dmitrij Sauermilch: Proseminar Analysis I am 17. April 2007