Differentialgleichungen I: Existenz und Eindeutigkeit - JavaPsi

2 DER SATZ VON PICARD-LINDELÖF 13
die beiden entstehenden Gleichungen voneinander subtrahieren:
λk+1(t) − λk(t) (10)
Z
t
=
[ f (s,λk(s)) − f (s,λk−1(s))]ds
t0
(12) Z
t
≤
f (s,λk(s)) − f (s,λk−1(s))ds
t0
(8) Z
t
≤
L λk(s) − λk−1(s)ds
t0
(15) Z
t
k
k−1 |s −t0|
MLk Z
t
≤ L · ML ds
=
k! k! |s −t0| k
ds
=
t0
= MLk
k!
|t −t0| k+1
k + 1
k+1
|t −t0|
= MLk
(k + 1)! ,
d.h. Abschätzung (15) gilt für k +1 und somit für alle k ∈ N, womit auch
Abschätzung (14) gezeigt ist.
Also darf der Weierstraß-Test auf Reihe (13) von oben angewendet
werden, woraus folgt, dass die Folge der Picard-Iterierten (λi)i∈N auf
Iα(t0) gleichmäßig konvergiert (vgl. oben). Nennen wir die Grenzfunktion
gegen die (λi)i∈N gleichmäßig konvergiert λ(t). Dann ist diese Grenzfunktion
λ(t) stetig, da gleichmäßige Konvergenz Stetigkeit erhält 3 und
die Funktionen λi als Integrale der stetigen Funktion f (vgl. Definition
der Picard-Iterierten (10)) stetig sind.
2.1.4 Schritt 4: Die Grenzfunktion λ(t) ist Lösung des AWP
Nun bleibt nur noch zu zeigen, dass unsere Grenzfunktion λ(t) Lösung
des AWP ist bzw. die Integralgleichung (9) erfüllt. Wie in der Beweisidee
bereits erwähnt, muss hierzu die Integration mit der Grenzwertbildung
auf der rechten Seite der Iterationsgleichung (10) vertauschbar sein:
Z t
lim f (s,λi(s))ds
i→∞ t0
! =
Z t
Diese Vertauschbarkeit ist erlaubt, wenn die Folge
t0
( f (s,λi(s)))i∈N
t0
lim
i→∞ f (s,λi(s))ds. (16)
3 Genau deshalb wurde die gleichmäßige Konvergenz in Analysis I eingeführt.
(17)
Version: 25. April 2007 Marcel Schmittfull, Dmitrij Sauermilch: Proseminar Analysis I am 17. April 2007