Zur Angemessenheit von Optionspreisen - ESCP Europe

- 2 -
zuletzt aus der teilweise unzureichenden Datenbasis dieser Studien resultieren. So
bemängelt Rubinstein beispielsweise die geringe Aussagekraft von Untersuchungen,
die theoretische Optionspreise auf Basis von Aktien-Schlusskursen berechnen und
diese Optionswerte dann mit variablen Optionspreisen vergleichen. 7 Mit Bezug auf
die Daten der vorliegenden Untersuchung lässt sich diese Kritik verdeutlichen: für
einen September-Call (at-the-money) auf die Deutsche Bank ergab sich z. B. am
24.7.2002 um 16:02 Uhr 4 sec. unter Verwendung des zeitgleichen Aktienkurses ein
rechnerischer Optionspreis von 4,59 Euro, während der theoretische Optionspreis
auf Schlusskursbasis bei 8,71 Euro lag. Angesichts der teilweise erheblichen innertäglichen
Aktienkurs-Schwankungen greifen wir daher die Kritik von Rubinstein auf
und verwenden zur Überprüfung des Black/Scholes-Modells variable, sekundengenaue
Options- und Aktiennotierungen.
2. Das Black/Scholes-Modell
1973 leiteten Fischer Black und Myron Scholes ihre Formel zur Bewertung europäischer
Call-Optionen ab. 8 Das Black/Scholes-Modell basiert auf Arbitrageüberlegungen.
Hierzu wird die zugrunde liegende Aktie gekauft, während gleichzeitig so viele
Call-Optionen verkauft werden, dass das Portfolio von Änderungen des Aktienkurses
unabhängig wird (Delta-neutrale Position). 9 Das Duplikationsportfolio ist risikofrei und
besteht ausschließlich aus Zerobonds. Im Marktgleichgewicht kann ein abgesichertes
Portfolio (Hedge) daher keine höhere Rendite generieren als die Verzinsung risikofreier
Anlagen. Folglich muss sich ein Optionspreis ergeben, der den Marktteilnehmern
keine Arbitragemöglichkeit bietet. 10 Nach dem Black/Scholes-Modell errechnet
sich der Optionspreis, der keine Arbitrage zulässt, folgendermaßen:
C
N(.)
E
S
2
⎛
⎞
⎜
⎛ S ⎞ ⎛ σ ⎞
ln⎜
⎟ + ⎜r
+ ⎟T
⎟
⎜ ⎝ X ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟
C = S⋅N
⎜
⎟ − X⋅
e
⎜
σ T
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
= Preis der Call Option
= kumulative Normalverteilungsfunktion
= Basis des natürlichen Logarithmus
= Aktienkurs
−rT
X
T
r
σ 2
2
⎛
⎞
⎜
⎛ S ⎞ ⎛ σ ⎞
ln⎜
⎟ + ⎜r
− ⎟T
⎟
⎜ ⎝ X ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟
⋅N
⎜
⎟
⎜
σ T
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
= Ausübungspreis
= Restlaufzeit
= risikoloser Zinssatz
= konstante Varianz des Aktienkurses
7
Vgl. Rubinstein (1985), S. 456f.
8
Vgl. Black/Scholes (1973), S. 637-659.
9
Vgl. Hull (2000), S. 311 und Black/Scholes (1973), S. 641; siehe ähnlich auch Mason in Black et al.
(1992), S. 33.
10
Vgl. Black/Scholes (1972), S. 400; den Beweis, zur Duplizierung der Auszahlungsströme einer
Option mit dem Basiswert und der risikolosen Anlage siehe auch Merton (1973).