Zahlen und Mengen - arthur

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Zahlen und Mengen
1.4 Rationale Zahlen
1.4.1 Rechnen mit Brüchen
1.30 Einige Schülerinnen und Schüler der 1A bestellen in der Mittagspause gemeinsam Pizza.
Wie viel bekommt (bei gleichmäßiger Aufteilung) jede(r)?
a) 1 Pizza für 4 Personen b) 3 Pizzen für 8 Personen
Um Teile von ganzen Einheiten anzugeben, benötigt man rationale Zahlen. Im Alltag werden
rationale Zahlen in Bruchdarstellung meist kurz Brüche genannt.
Alle positiven und negativen Zahlen der Form a _ (a, b ∊ ℤ, b ≠ 0) bilden die rationalen
b
Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit ℚ abgekürzt.
ℚ = { a _ | a, b ∊ ℤ, b ≠ 0}
b
Auch alle ganzen Zahlen sind rationale Zahlen, zB 2 = 2 _
1 .
Bemerkung: Rational kommt vom lateinischen Wort „ratio“, das Verhältnis bedeutet; auch im
Englischen heißt Verhältnis ratio. Das ℚ als Abkürzung kommt vom Wort Quotient.
Bezeichnungen und Begriffe
Zähler
• Bezeichnungen: Bruch a _
b Bruchstrich
Nenner
• Man unterscheidet Brüche nach ihrem Wert:
Echte Brüche: Wert 1, zB: 1 _ 3
2 , _
4 ,
5 __
7
11 Unechte Brüche: Wert 1, zB: _ 5
2 , _ 11
3 , __ 18
, __
4 18
• Brüche mit Zähler 1 heißen Stammbrüche: 1 _ 1
2 , _ 1
3 , _
4 ...
• Brüche mit Nenner 10, 100, 1 000 ... (dekadische Einheiten) heißen Dezimalbrüche. Sie
können als Dezimalzahlen mit endlich vielen Dezimalstellen angeschrieben werden.
ZB: 7 __ 11
= 0,7; ___
3
= 0,11; ____ = 0,003
10
100
1 000
Kürzen und Erweitern von Brüchen
Jede rationale Zahl kann durch (unendlich viele) verschiedene Brüche dargestellt werden,
zB 1 _ 2
= _ 4
= _ = ...
2
4
8
Der Wert eines Bruchs ändert sich nicht, wenn man
• Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl (≠ 0) multipliziert, dh. erweitert.
• Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl (≠ 0) dividiert, dh. kürzt.
1.31 Erweitere den Bruch auf den angegebenen Nenner.
a) 3 _ ?
= 4 __
7
12 b) __ ?
25 = ___
100
Lösung:
a) 3 _ = __ 9
4 12
b)
Der Nenner wurde mit 3 multipliziert, also muss auch der Zähler mit 3
multipliziert werden.
7 __ 28
25 = ___
100 Der Nenner wurde mit 4 multipliziert, also muss auch der Zähler mit 4
multipliziert werden.