Zahlen und Mengen - arthur

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Zahlen und Mengen
1.6 Potenzen
1.6.1 Grundlagen
Kannst du dir vorstellen, dass Einstein all seine Berechnungen auch
mit römischen Zahlen durchführen hätte können? Wohl kaum, schon
der Versuch, aus den Daten unter seinem Bild (Abb. 1.2) zu berechnen,
wie alt er wurde, ist mühsam, wenn wir die römischen Zahlen nicht
durch Zahlen aus unserem Stellenwertsystem ersetzen. Dieses
Stellenwertsystem erleichtert die Angabe von sehr großen und sehr
kleinen Zahlen, weil wir die Zehnerpotenzen, die sich hinter unseren
Zahlen „verstecken“, nicht anschreiben müssen.
Sowohl für die „Alltagstauglichkeit“ der Mathematik als auch für ihre Weiterentwicklung ist es
wichtig, Zahlen und Rechenvorgänge möglichst kurz und einfach anzuschreiben.
Für die Multiplikation von gleichen Faktoren verwenden
wir die Schreibweise: a · a · a · ... · a = a n [sprich: „a hoch n“]
n Faktoren
Zusätzlich wird festgelegt: a 1 = a und a 0 = 1
Bezeichnungen: a n
a ... Basis oder Grundzahl n ... Exponent oder Hochzahl
Der Rechenvorgang wird Potenzieren genannt, a n Potenz.
Für die am häufigsten auftretenden Hochzahlen 2 und 3 gibt
es eigene Bezeichnungen:
a 2 ... Rechenvorgang: Quadrieren, Ergebnis: Quadrat
a 3 ... Rechenvorgang: Kubieren, Ergebnis: Kubus
(Mehrzahl: Kuben)
10 n ... Zehnerpotenz
{
1.60 Schreib als Potenz an und berechne das Ergebnis.
a) 0,1 · 0,1 · 0,1
Lösung:
b) (–8) · (–8)
a) 0,1 · 0,1 · 0,1 = (0,1) 3 = 0,001 b) (–8) · (–8) = (–8) 2 = 64
1.61 Schreib als Potenz an und berechne wenn möglich.
a) (–3) · (–3) · (–3) · (–3) b) 0,4 · 0,4 · 0,4 · 0,4 c) a · a · a · a · a · a
1.62 Schreib als Produkt an und berechne.
a) (–2) 3 b) 4 3 c) 2 2 d) (–3) 2
MDCCCLXXIX – MCMLV
(Abb. 1.2)
ZB: 3 = 3 1
5 · 5 = 5 2
2 · 2 · 2 = 2 3
7 · 7 · 7 · 7 = 7 4
10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10 5
A = a 2
Quadrat
V = a 3
Würfel
lat. cubus