Zahlen und Mengen - arthur

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Zahlen und Mengen
Aufgaben 1.52 – 1.53: Schreib als Bruch und kürze wenn möglich.
1.52 a) 0,4 c) 0,05 e) 0,007 g) 0,000 8
b) 0,3 d) 0,08 f) 0,004 h) 0,000 9
1.53 a) 0,24 c) 0,375 e) 0,055 g) 0,084
b) 0,35 d) 1,18 f) 0,145 h) 1,012
1.54 Zeichne einen geeigneten Ausschnitt der Zahlengeraden und markiere –4,3; 3 1 _ 7
2 ; 2,5; – __
10 .
1.55 Wie lautet die Dezimalzahl, die genau in der Mitte zwischen den angegebenen Zahlen liegt?
a) 3,4 und 3,5 b) 7,01 und 7,02 c) –0,004 und –0,005 d) 2,104 6 und 2,104 7
1.56 Gib drei Zahlen an, die zwischen den gegebenen und näher bei der kleineren der beiden
Zahlen liegen.
a) –1,5 und –1,6 b) 6,2 und 6,3 c) –5,55 und –5,56 d) –0,002 und –0,003
1.57 Welchen Bruch gibt die periodische Dezimalzahl an?
a) 0,3 · b) 0,04 · c) 0,2 · 3 · d) 0,04 · 8 · e) 0,5 · 07 ·
1.5 Reelle Zahlen
Die Anhänger des Pythagoras (ca. 570 – 510 v. Chr.) waren noch davon überzeugt, dass sich
die Welt durch Verhältnisse ganzer Zahlen vollkommen beschreiben lässt. „Alles ist Zahl“
war der Leitspruch der Pythagoräer, die man heute wohl als Geheimbund bezeichnen würde.
Ca. 450 v. Chr. machte ein Mitglied, Hippasos von Metapont, die folgenschwere Entdeckung,
dass man die Länge der Diagonale eines Quadrats nicht immer als Bruch darstellen kann. Weil er
diese Erkenntnis nicht für sich behielt, wurde er als Verräter bezeichnet. Ob sein Tod bei einem
Schiffsunglück bald danach Zufall war, wird wohl nicht mehr zu klären sein.
Betrachten wir nebenstehendes Dreieck. Nach dem Satz des Pythagoras
muss gelten:
x 2 = 1 2 + 1 2 x 2 = 2
x muss also eine Zahl sein, die, mit sich selbst multipliziert, 2 ergibt.
Nehmen wir an, es gibt eine rationale Zahl x (1 x 2), die diese
Forderung erfüllt. Wir geben diese Zahl als gekürzten Bruch an.
x = p _
q mit ggT(p, q) = 1, q ≠ 1
Dann ist x 2 = p _
q · p _
q ebenfalls nicht mehr kürzbar, x 2 daher keine ganze Zahl. Das ist ein
Widerspruch zu unserer Annahme (x 2 = 2). Es gibt also keine rationale Zahl x mit x 2 x
1
1
= 2. Die
Zahl x kann dann weder eine periodische noch eine endliche Dezimalzahl sein. x muss daher
eine Dezimalzahl mit unendlich vielen Dezimalstellen sein.
Schreibweise: x = 2 [Sprich: „Wurzel 2“]
x = 2 x 2 = 2
Wurzeln aus natürlichen Zahlen sind natürliche Zahlen oder irrationale Zahlen. Im letzteren Fall
kann man ihren Wert nur bis zu einer gewissen Genauigkeit angeben, zB
2 = 1,414 213 5... ≈ 1,41.