Zahlen und Mengen - arthur

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12 Zahlen und Mengen Das Addieren einer negativen ganzen Zahl a + (–b) = a – (+b) = a – b entspricht dem Subtrahieren der Gegenzahl. ZB: 7 + (–3) = 7 – (+3) = 7 – 3 Das Subtrahieren einer negativen ganzen Zahl a – (–b) = a + (+b) = a + b entspricht dem Addieren der Gegenzahl. ZB: 7 – (–3) = 7 + (+3) = 7 + 3 Beachte den Unterschied: Das Rechenzeichen „–“ stellt den „Arbeitsauftrag“ Subtrahieren dar. 11 – (–3) Rechen- Vorzeichen zeichen Diese Rechenoperation „arbeitet“ mit zwei Zahlen, dem Minuenden und dem Subtrahenden. Das Vorzeichen „–“ informiert darüber, dass es sich um eine negative Zahl handelt. Es bezieht sich nur auf eine Zahl und gibt deren Lage auf der Zahlengeraden (links oder rechts von der Null) an. Die für natürliche Zahlen angegebenen Rechenregeln gelten weiterhin. Meist werden das Vorzeichen „+“ und nicht notwendige Klammern weggelassen. ZB: (+3) · (–4) = 3 · (–4); (–3) · (+4) = –3 · 4 Beim Multiplizieren ganzer Zahlen sind die (+a) · (+b) = +a · b (–a) · (+b) = –a · b Vorzeichenregeln zu beachten. (+a) · (–b) = –a · b (–a) · (–b) = +a · b Für die Division gelten (sinngemäß) die gleichen (+a) : (+b) = +a : b (–a) : (+b) = –a : b Regeln (mit b ≠ 0). (+a) : (–b) = –a : b (–a) : (–b) = +a : b ZB: 3 · 4 = 12 –3 · 4 = –12 35 : 5 = 7 –35 : 5 = –7 3 · (–4) = –12 –3 · (–4) = 12 35 : (–5) = –7 –35 : (–5) = 7 1.16 Berechne 2 · (–5) – [–8 · (–3) – 12 : (–6)] Lösung: 2 · (–5) – [–8 · (–3) – 12 : (–6)] = –10 – [24 – (–2)] = –10 – (24 + 2) = –10 – 26 = –36 1.17 Wende das Kommutativgesetz an und berechne das Ergebnis. a) 2 + 5 Lösung: b) –2 + 7 c) 3 – 4 d) –4 – 5 a) 2 + 5 = 5 + 2 = 7 c) 3 – 4 = –4 + 3 = –1 b) –2 + 7 = 7 – 2 = 5 d) –4 – 5 = –5 – 4 = –9 1.18 Wende das Kommutativgesetz an und berechne das Ergebnis. a) –13 + 24 b) 36 – 48 c) –12 – 2 Aufgaben 1.19 – 1.22: Berechne die Ergebnisse. 1.19 a) 11 – 18 + 3 b) –7 – 9 + 16 c) 20 – 30 – 5 1.20 a) 4 · (–8) b) –5 · 12 c) –3 · (–11) 1.21 a) –24 : (–4) b) 56 : (–8) c) –63 : 9 1.22 a) –35 : (–7) – 11 b) 16 – 15 · (–2) c) –2 · (–3) – (–12) : (–2) 1.23 Gib – ohne das Ergebnis vorher auszurechnen – an, ob die Ergebnisse von 1) und 2) gleich sind, Gegenzahlen sind oder keines von beiden. a) 1) –1 251 + 3 897 b) 1) 456 – 235 c) 1) –6 701 + 3 009 2) –3 897 + 1 251 2) –235 + 456 2) 3 009 – 6 701 Weitere Aufgaben im Zusatzband
Zahlen und Mengen 1.3.2 Betrag (Absolutbetrag) einer ganzen Zahl 1.24 Auf einer Ferieninsel werden U-Bootfahrten zu einem Riff angeboten. Das U-Boot sinkt dabei von der Meeresoberfläche auf eine Meereshöhe von –35 m. Wie viel Meter ist es getaucht? Unter dem Betrag einer ganzen Zahl z versteht man deren Abstand vom Nullpunkt. Man schreibt |z|. ZB: z = +3 ... 3 Einheiten von 0 entfernt, |+3| = 3 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 z = –3 ... 3 Einheiten von 0 entfernt, |–3| = 3 3 Einheiten 3 Einheiten Das Vorzeichen gibt an, in welcher Richtung eine Zahl (von Null aus gesehen) auf der Zahlengeraden liegt. Du kannst den Betrag einer Zahl bilden, indem du das Vorzeichen weglässt. Ist die Zahl z positiv, so ist ihr Betrag die Zahl z, ist sie negativ, ist ihr Betrag die (positive) Gegenzahl –z. z, wenn z 0 Betrag (Absolutbetrag) einer Zahl z: |z| = { –z, wenn z 0 1.25 Beschreibe in eigenen Worten, welche Zahlen die angegebene Menge enthält. Kennzeichne sie farbig auf einer Zahlengeraden und gib die Menge im aufzählenden Verfahren an. Bemerkung: Werden alle Elemente, die einer Menge angehören, angeführt, so spricht man von einer Mengenangabe im aufzählenden Verfahren. a) A = {x ∊ ℤ | |x| 4} b) B = {y ∊ ℤ | |y| 2} Abkürzungen: | ... „für die gilt“; ∊ ... „ist Element von“, ∉ ... „ist kein Element von“ Lösung: a) Die Menge A enthält alle ganzen Zahlen, deren Betrag kleiner als 4 ist. Das sind jene Zahlen, deren Abstand vom Nullpunkt weniger als 4 beträgt. A = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} b) Die Menge B enthält alle ganzen Zahlen, deren Betrag größer oder gleich 2 ist. Das sind jene Zahlen, deren Abstand vom Nullpunkt 2 oder mehr beträgt. B = {... –5, –4, –3, –2, 2, 3, 4, 5 ...} -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 Aufgaben 1.26 – 1.28: Berechne die Ergebnisse. 1.26 a) |–2| – |2| Lösung: b) |5 – 7| c) 4 – |–6| a) |–2| – |2| = 2 – 2 = 0 b) |5 – 7| = |–2| = 2 c) 4 – |–6| = 4 – 6 = –2 1.27 a) |–2 – 7| b) |–2| – 7 c) –2 – |–7| d) |–2| – |–7| 1.28 a) |–3| · 2 – |3 · 4 – 11| – (–2) · (–3) b) (–8) · (16 – |2 · 5 – 3 · 4| – 10) + |7 – 9| 1.29 Kennzeichne die angegebenen Zahlen auf der Zahlengeraden und gib die Menge im aufzählenden Verfahren an. a) A = {x ∊ ℤ | |x| 3} b) B = {x ∊ ℤ | |x| 4} c) C = {x ∊ ℤ | |x| 5} 13
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